Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3666 / 1873
↖ ↑ ↗
← N 69.395783°
W 18.896484°		 ← 1 719.61 m → N 69.395783°
W 18.852539°		 →
↑
1 720.23 m
↓
↑
1 720.23 m
↓
N 69.380313°
W 18.896484°		 ← 1 720.84 m →
2 959 191 m²		 N 69.380313°
W 18.852539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1873 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44757080078125 y=0.22869873046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44757080078125 × 213)
    floor (0.44757080078125 × 8192)
    floor (3666.5)     		tx = 3666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.22869873046875 × 213)
    floor (0.22869873046875 × 8192)
    floor (1873.5)     		ty = 1873
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3666 / 1873 ti = "13/3666/1873"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3666/1873.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3666 ÷ 213
    3666 ÷ 8192     		x = 0.447509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1873 ÷ 213
    1873 ÷ 8192     		y = 0.2286376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447509765625 × 2 - 1) × π
    -0.10498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32980587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2286376953125 × 2 - 1) × π
    0.542724609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.70501964568616
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32980587} λ = -0.32980587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70501964568616))-π/2
    2×atan(5.50149374676939)-π/2
    2×1.39099061433574-π/2
    2.78198122867148-1.57079632675     		φ = 1.21118490
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32980587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.896484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21118490 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.395783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3666 KachelY 1873 -0.32980587 1.21118490 -18.896484 69.395783
    Oben rechts KachelX + 1 3667 KachelY 1873 -0.32903888 1.21118490 -18.852539 69.395783
    Unten links KachelX 3666 KachelY + 1 1874 -0.32980587 1.21091489 -18.896484 69.380313
    Unten rechts KachelX + 1 3667 KachelY + 1 1874 -0.32903888 1.21091489 -18.852539 69.380313
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21118490-1.21091489) × R
    0.000270009999999932 × 6371000     		dl = 1720.23370999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21118490-1.21091489) × R
    0.000270009999999932 × 6371000     		dr = 1720.23370999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32980587--0.32903888) × cos(1.21118490) × R
    0.000766990000000023 × 0.351910542261028 × 6371000     		do = 1719.60850343883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32980587--0.32903888) × cos(1.21091489) × R
    0.000766990000000023 × 0.352163267872288 × 6371000     		du = 1720.84344544246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21118490)-sin(1.21091489))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351910542261028-0.352163267872288)×R²
    abs(-0.32903888--0.32980587)×0.000252725611259719×R²
    0.000766990000000023×0.000252725611259719×6371000²
    0.000766990000000023×0.000252725611259719×40589641000000     		ar = 2959190.72802996m²