Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36659 / 103701
↖ ↑ ↗
← S 71.764489°
W 79.313049°		 ← 95.57 m → S 71.764489°
W 79.310303°		 →
↑
95.56 m
↓
↑
95.56 m
↓
S 71.765348°
W 79.313049°		 ← 95.57 m →
9 133 m²		 S 71.765348°
W 79.310303°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279689788818359 y=0.791179656982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279689788818359 × 217)
    floor (0.279689788818359 × 131072)
    floor (36659.5)     		tx = 36659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.791179656982422 × 217)
    floor (0.791179656982422 × 131072)
    floor (103701.5)     		ty = 103701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36659 / 103701 ti = "17/36659/103701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36659/103701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36659 ÷ 217
    36659 ÷ 131072     		x = 0.279685974121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103701 ÷ 217
    103701 ÷ 131072     		y = 0.791175842285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279685974121094 × 2 - 1) × π
    -0.440628051757812 × 3.1415926535     		Λ = -1.38427385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.791175842285156 × 2 - 1) × π
    -0.582351684570312 × 3.1415926535     		Φ = -1.82951177399944
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38427385} λ = -1.38427385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.82951177399944))-π/2
    2×atan(0.160491904971375)-π/2
    2×0.15913485187795-π/2
    0.3182697037559-1.57079632675     		φ = -1.25252662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38427385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.313049°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25252662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.764489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36659 KachelY 103701 -1.38427385 -1.25252662 -79.313049 -71.764489
    Oben rechts KachelX + 1 36660 KachelY 103701 -1.38422591 -1.25252662 -79.310303 -71.764489
    Unten links KachelX 36659 KachelY + 1 103702 -1.38427385 -1.25254162 -79.313049 -71.765348
    Unten rechts KachelX + 1 36660 KachelY + 1 103702 -1.38422591 -1.25254162 -79.310303 -71.765348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25252662--1.25254162) × R
    1.49999999998762e-05 × 6371000     		dl = 95.5649999992114m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25252662--1.25254162) × R
    1.49999999998762e-05 × 6371000     		dr = 95.5649999992114m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38427385--1.38422591) × cos(-1.25252662) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.31292363494914 × 6371000     		do = 95.5749327677683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38427385--1.38422591) × cos(-1.25254162) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.312909388239598 × 6371000     		du = 95.570581455964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25252662)-sin(-1.25254162))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.31292363494914-0.312909388239598)×R²
    abs(-1.38422591--1.38427385)×1.42467095416987e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.42467095416987e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.42467095416987e-05×40589641000000     		ar = 9133.4105335177m²