Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36658 / 38171
↖ ↑ ↗
← S 28.434884°
E 21.368408°		 ← 537.10 m → S 28.434884°
E 21.373901°		 →
↑
537.08 m
↓
↑
537.08 m
↓
S 28.439714°
E 21.368408°		 ← 537.08 m →
288 457 m²		 S 28.439714°
E 21.373901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559364318847656 y=0.582450866699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559364318847656 × 216)
    floor (0.559364318847656 × 65536)
    floor (36658.5)     		tx = 36658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582450866699219 × 216)
    floor (0.582450866699219 × 65536)
    floor (38171.5)     		ty = 38171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36658 / 38171 ti = "16/36658/38171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36658/38171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36658 ÷ 216
    36658 ÷ 65536     		x = 0.559356689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38171 ÷ 216
    38171 ÷ 65536     		y = 0.582443237304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559356689453125 × 2 - 1) × π
    0.11871337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.37294908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582443237304688 × 2 - 1) × π
    -0.164886474609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.518006137294327
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37294908} λ = 0.37294908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.518006137294327))-π/2
    2×atan(0.595707122859157)-π/2
    2×0.537256993961909-π/2
    1.07451398792382-1.57079632675     		φ = -0.49628234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37294908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.368408°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49628234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.434884°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36658 KachelY 38171 0.37294908 -0.49628234 21.368408 -28.434884
    Oben rechts KachelX + 1 36659 KachelY 38171 0.37304495 -0.49628234 21.373901 -28.434884
    Unten links KachelX 36658 KachelY + 1 38172 0.37294908 -0.49636664 21.368408 -28.439714
    Unten rechts KachelX + 1 36659 KachelY + 1 38172 0.37304495 -0.49636664 21.373901 -28.439714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49628234--0.49636664) × R
    8.43000000000371e-05 × 6371000     		dl = 537.075300000237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49628234--0.49636664) × R
    8.43000000000371e-05 × 6371000     		dr = 537.075300000237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37294908-0.37304495) × cos(-0.49628234) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.879358834407102 × 6371000     		do = 537.101621497301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37294908-0.37304495) × cos(-0.49636664) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.879318691021593 × 6371000     		du = 537.077102408386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49628234)-sin(-0.49636664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879358834407102-0.879318691021593)×R²
    abs(0.37304495-0.37294908)×4.01433855088396e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.01433855088396e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.01433855088396e-05×40589641000000     		ar = 288457.430368696m²