Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36654 / 103704
↖ ↑ ↗
← S 71.767067°
W 79.326782°		 ← 95.54 m → S 71.767067°
W 79.324036°		 →
↑
95.56 m
↓
↑
95.56 m
↓
S 71.767927°
W 79.326782°		 ← 95.54 m →
9 130 m²		 S 71.767927°
W 79.324036°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279651641845703 y=0.791202545166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279651641845703 × 217)
    floor (0.279651641845703 × 131072)
    floor (36654.5)     		tx = 36654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.791202545166016 × 217)
    floor (0.791202545166016 × 131072)
    floor (103704.5)     		ty = 103704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36654 / 103704 ti = "17/36654/103704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36654/103704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36654 ÷ 217
    36654 ÷ 131072     		x = 0.279647827148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103704 ÷ 217
    103704 ÷ 131072     		y = 0.79119873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279647827148438 × 2 - 1) × π
    -0.440704345703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.38451353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79119873046875 × 2 - 1) × π
    -0.5823974609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.8296555846983
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38451353} λ = -1.38451353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8296555846983))-π/2
    2×atan(0.160468826177888)-π/2
    2×0.159112352531458-π/2
    0.318224705062916-1.57079632675     		φ = -1.25257162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38451353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.326782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25257162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.767067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36654 KachelY 103704 -1.38451353 -1.25257162 -79.326782 -71.767067
    Oben rechts KachelX + 1 36655 KachelY 103704 -1.38446560 -1.25257162 -79.324036 -71.767067
    Unten links KachelX 36654 KachelY + 1 103705 -1.38451353 -1.25258662 -79.326782 -71.767927
    Unten rechts KachelX + 1 36655 KachelY + 1 103705 -1.38446560 -1.25258662 -79.324036 -71.767927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25257162--1.25258662) × R
    1.49999999998762e-05 × 6371000     		dl = 95.5649999992114m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25257162--1.25258662) × R
    1.49999999998762e-05 × 6371000     		dr = 95.5649999992114m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38451353--1.38446560) × cos(-1.25257162) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.312880894609304 × 6371000     		do = 95.5419451261716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38451353--1.38446560) × cos(-1.25258662) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.312866647688558 × 6371000     		du = 95.5375946575314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25257162)-sin(-1.25258662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312880894609304-0.312866647688558)×R²
    abs(-1.38446560--1.38451353)×1.42469207459195e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.42469207459195e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.42469207459195e-05×40589641000000     		ar = 9130.25810975586m²