Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36654 / 103702
↖ ↑ ↗
← S 71.765348°
W 79.326782°		 ← 95.55 m → S 71.765348°
W 79.324036°		 →
↑
95.57 m
↓
↑
95.57 m
↓
S 71.766208°
W 79.326782°		 ← 95.55 m →
9 131 m²		 S 71.766208°
W 79.324036°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279651641845703 y=0.791187286376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279651641845703 × 217)
    floor (0.279651641845703 × 131072)
    floor (36654.5)     		tx = 36654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.791187286376953 × 217)
    floor (0.791187286376953 × 131072)
    floor (103702.5)     		ty = 103702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36654 / 103702 ti = "17/36654/103702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36654/103702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36654 ÷ 217
    36654 ÷ 131072     		x = 0.279647827148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103702 ÷ 217
    103702 ÷ 131072     		y = 0.791183471679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279647827148438 × 2 - 1) × π
    -0.440704345703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.38451353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.791183471679688 × 2 - 1) × π
    -0.582366943359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.82955971089906
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38451353} λ = -1.38451353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.82955971089906))-π/2
    2×atan(0.160484211671434)-π/2
    2×0.15912735175432-π/2
    0.318254703508641-1.57079632675     		φ = -1.25254162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38451353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.326782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25254162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.765348°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36654 KachelY 103702 -1.38451353 -1.25254162 -79.326782 -71.765348
    Oben rechts KachelX + 1 36655 KachelY 103702 -1.38446560 -1.25254162 -79.324036 -71.765348
    Unten links KachelX 36654 KachelY + 1 103703 -1.38451353 -1.25255662 -79.326782 -71.766208
    Unten rechts KachelX + 1 36655 KachelY + 1 103703 -1.38446560 -1.25255662 -79.324036 -71.766208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25254162--1.25255662) × R
    1.50000000000983e-05 × 6371000     		dl = 95.5650000006261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25254162--1.25255662) × R
    1.50000000000983e-05 × 6371000     		dr = 95.5650000006261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38451353--1.38446560) × cos(-1.25254162) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.312909388239598 × 6371000     		do = 95.5506459989604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38451353--1.38446560) × cos(-1.25255662) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.312895141459652 × 6371000     		du = 95.5462955733149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25254162)-sin(-1.25255662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312909388239598-0.312895141459652)×R²
    abs(-1.38446560--1.38451353)×1.42467799464918e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.42467799464918e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.42467799464918e-05×40589641000000     		ar = 9131.08961102182m²