Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36652 / 38001
↖ ↑ ↗
← S 27.610539°
E 21.335449°		 ← 541.23 m → S 27.610539°
E 21.340942°		 →
↑
541.22 m
↓
↑
541.22 m
↓
S 27.615406°
E 21.335449°		 ← 541.21 m →
292 916 m²		 S 27.615406°
E 21.340942°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559272766113281 y=0.579856872558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559272766113281 × 216)
    floor (0.559272766113281 × 65536)
    floor (36652.5)     		tx = 36652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579856872558594 × 216)
    floor (0.579856872558594 × 65536)
    floor (38001.5)     		ty = 38001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36652 / 38001 ti = "16/36652/38001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36652/38001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36652 ÷ 216
    36652 ÷ 65536     		x = 0.55926513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38001 ÷ 216
    38001 ÷ 65536     		y = 0.579849243164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55926513671875 × 2 - 1) × π
    0.1185302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.37237384
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.579849243164062 × 2 - 1) × π
    -0.159698486328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.501707591423508
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37237384} λ = 0.37237384}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.501707591423508))-π/2
    2×atan(0.605495836938711)-π/2
    2×0.544450760621975-π/2
    1.08890152124395-1.57079632675     		φ = -0.48189481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37237384} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.335449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48189481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.610539°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36652 KachelY 38001 0.37237384 -0.48189481 21.335449 -27.610539
    Oben rechts KachelX + 1 36653 KachelY 38001 0.37246971 -0.48189481 21.340942 -27.610539
    Unten links KachelX 36652 KachelY + 1 38002 0.37237384 -0.48197976 21.335449 -27.615406
    Unten rechts KachelX + 1 36653 KachelY + 1 38002 0.37246971 -0.48197976 21.340942 -27.615406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48189481--0.48197976) × R
    8.49499999999725e-05 × 6371000     		dl = 541.216449999825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48189481--0.48197976) × R
    8.49499999999725e-05 × 6371000     		dr = 541.216449999825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37237384-0.37246971) × cos(-0.48189481) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.886118347212604 × 6371000     		do = 541.230249250061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37237384-0.37246971) × cos(-0.48197976) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.88607897317051 × 6371000     		du = 541.206200066694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48189481)-sin(-0.48197976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886118347212604-0.88607897317051)×R²
    abs(0.37246971-0.37237384)×3.9374042094531e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.9374042094531e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.9374042094531e-05×40589641000000     		ar = 292916.206401051m²