Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36651 / 38000
↖ ↑ ↗
← S 27.605671°
E 21.329956°		 ← 541.31 m → S 27.605671°
E 21.335449°		 →
↑
541.28 m
↓
↑
541.28 m
↓
S 27.610539°
E 21.329956°		 ← 541.29 m →
292 994 m²		 S 27.610539°
E 21.335449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36651 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559257507324219 y=0.579841613769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559257507324219 × 216)
    floor (0.559257507324219 × 65536)
    floor (36651.5)     		tx = 36651
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579841613769531 × 216)
    floor (0.579841613769531 × 65536)
    floor (38000.5)     		ty = 38000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36651 / 38000 ti = "16/36651/38000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36651/38000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36651 ÷ 216
    36651 ÷ 65536     		x = 0.559249877929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38000 ÷ 216
    38000 ÷ 65536     		y = 0.579833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559249877929688 × 2 - 1) × π
    0.118499755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.37227796
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.579833984375 × 2 - 1) × π
    -0.15966796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.501611717624268
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37227796} λ = 0.37227796}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.501611717624268))-π/2
    2×atan(0.605553890907905)-π/2
    2×0.544493239332018-π/2
    1.08898647866404-1.57079632675     		φ = -0.48180985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37227796} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.329956°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48180985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.605671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36651 KachelY 38000 0.37227796 -0.48180985 21.329956 -27.605671
    Oben rechts KachelX + 1 36652 KachelY 38000 0.37237384 -0.48180985 21.335449 -27.605671
    Unten links KachelX 36651 KachelY + 1 38001 0.37227796 -0.48189481 21.329956 -27.610539
    Unten rechts KachelX + 1 36652 KachelY + 1 38001 0.37237384 -0.48189481 21.335449 -27.610539
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48180985--0.48189481) × R
    8.49600000000228e-05 × 6371000     		dl = 541.280160000145m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48180985--0.48189481) × R
    8.49600000000228e-05 × 6371000     		dr = 541.280160000145m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37227796-0.37237384) × cos(-0.48180985) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.886157719493861 × 6371000     		do = 541.310754466208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37227796-0.37237384) × cos(-0.48189481) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.886118347212604 × 6371000     		du = 541.286703849932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48180985)-sin(-0.48189481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886157719493861-0.886118347212604)×R²
    abs(0.37237384-0.37227796)×3.93722812567221e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.93722812567221e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.93722812567221e-05×40589641000000     		ar = 292994.262902722m²