Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3664 / 5360
↖ ↑ ↗
← S 48.458352°
W 18.984375°		 ← 3 240.55 m → S 48.458352°
W 18.940430°		 →
↑
3 239.65 m
↓
↑
3 239.65 m
↓
S 48.487487°
W 18.984375°		 ← 3 238.69 m →
10 495 239 m²		 S 48.487487°
W 18.940430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44732666015625 y=0.65435791015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44732666015625 × 213)
    floor (0.44732666015625 × 8192)
    floor (3664.5)     		tx = 3664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.65435791015625 × 213)
    floor (0.65435791015625 × 8192)
    floor (5360.5)     		ty = 5360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3664 / 5360 ti = "13/3664/5360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3664/5360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3664 ÷ 213
    3664 ÷ 8192     		x = 0.447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5360 ÷ 213
    5360 ÷ 8192     		y = 0.654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447265625 × 2 - 1) × π
    -0.10546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33133985
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654296875 × 2 - 1) × π
    -0.30859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.969475857916016
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33133985} λ = -0.33133985}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.969475857916016))-π/2
    2×atan(0.379281783557872)-π/2
    2×0.362519268184134-π/2
    0.725038536368268-1.57079632675     		φ = -0.84575779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33133985} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.984375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84575779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.458352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3664 KachelY 5360 -0.33133985 -0.84575779 -18.984375 -48.458352
    Oben rechts KachelX + 1 3665 KachelY 5360 -0.33057286 -0.84575779 -18.940430 -48.458352
    Unten links KachelX 3664 KachelY + 1 5361 -0.33133985 -0.84626629 -18.984375 -48.487487
    Unten rechts KachelX + 1 3665 KachelY + 1 5361 -0.33057286 -0.84626629 -18.940430 -48.487487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84575779--0.84626629) × R
    0.000508500000000023 × 6371000     		dl = 3239.65350000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84575779--0.84626629) × R
    0.000508500000000023 × 6371000     		dr = 3239.65350000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33133985--0.33057286) × cos(-0.84575779) × R
    0.000766989999999967 × 0.663164286939641 × 6371000     		do = 3240.54783829805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33133985--0.33057286) × cos(-0.84626629) × R
    0.000766989999999967 × 0.662783602257093 × 6371000     		du = 3238.68762515117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84575779)-sin(-0.84626629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663164286939641-0.662783602257093)×R²
    abs(-0.33057286--0.33133985)×0.000380684682548482×R²
    0.000766989999999967×0.000380684682548482×6371000²
    0.000766989999999967×0.000380684682548482×40589641000000     		ar = 10495239.1493914m²