Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3664 / 2455
↖ ↑ ↗
← N 58.286395°
W 18.984375°		 ← 2 568.70 m → N 58.286395°
W 18.940430°		 →
↑
2 569.55 m
↓
↑
2 569.55 m
↓
N 58.263287°
W 18.984375°		 ← 2 570.38 m →
6 602 563 m²		 N 58.263287°
W 18.940430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2455 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44732666015625 y=0.29974365234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44732666015625 × 213)
    floor (0.44732666015625 × 8192)
    floor (3664.5)     		tx = 3664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29974365234375 × 213)
    floor (0.29974365234375 × 8192)
    floor (2455.5)     		ty = 2455
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3664 / 2455 ti = "13/3664/2455"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3664/2455.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3664 ÷ 213
    3664 ÷ 8192     		x = 0.447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2455 ÷ 213
    2455 ÷ 8192     		y = 0.2996826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447265625 × 2 - 1) × π
    -0.10546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33133985
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2996826171875 × 2 - 1) × π
    0.400634765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.25863123642419
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33133985} λ = -0.33133985}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25863123642419))-π/2
    2×atan(3.52059931980064)-π/2
    2×1.29404291853591-π/2
    2.58808583707181-1.57079632675     		φ = 1.01728951
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33133985} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.984375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01728951 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.286395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3664 KachelY 2455 -0.33133985 1.01728951 -18.984375 58.286395
    Oben rechts KachelX + 1 3665 KachelY 2455 -0.33057286 1.01728951 -18.940430 58.286395
    Unten links KachelX 3664 KachelY + 1 2456 -0.33133985 1.01688619 -18.984375 58.263287
    Unten rechts KachelX + 1 3665 KachelY + 1 2456 -0.33057286 1.01688619 -18.940430 58.263287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01728951-1.01688619) × R
    0.000403319999999985 × 6371000     		dl = 2569.5517199999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01728951-1.01688619) × R
    0.000403319999999985 × 6371000     		dr = 2569.5517199999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33133985--0.33057286) × cos(1.01728951) × R
    0.000766989999999967 × 0.525673656176211 × 6371000     		do = 2568.70079363471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33133985--0.33057286) × cos(1.01688619) × R
    0.000766989999999967 × 0.526016712216751 × 6371000     		du = 2570.37713467491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01728951)-sin(1.01688619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.525673656176211-0.526016712216751)×R²
    abs(-0.33057286--0.33133985)×0.000343056040540191×R²
    0.000766989999999967×0.000343056040540191×6371000²
    0.000766989999999967×0.000343056040540191×40589641000000     		ar = 6602563.35445104m²