Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36637 / 38125
↖ ↑ ↗
← S 28.212449°
E 21.253052°		 ← 538.23 m → S 28.212449°
E 21.258545°		 →
↑
538.22 m
↓
↑
538.22 m
↓
S 28.217290°
E 21.253052°		 ← 538.20 m →
289 679 m²		 S 28.217290°
E 21.258545°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559043884277344 y=0.581748962402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559043884277344 × 216)
    floor (0.559043884277344 × 65536)
    floor (36637.5)     		tx = 36637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581748962402344 × 216)
    floor (0.581748962402344 × 65536)
    floor (38125.5)     		ty = 38125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36637 / 38125 ti = "16/36637/38125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36637/38125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36637 ÷ 216
    36637 ÷ 65536     		x = 0.559036254882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38125 ÷ 216
    38125 ÷ 65536     		y = 0.581741333007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559036254882812 × 2 - 1) × π
    0.118072509765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.37093573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581741333007812 × 2 - 1) × π
    -0.163482666015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.513595942529282
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37093573} λ = 0.37093573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.513595942529282))-π/2
    2×atan(0.598340109017185)-π/2
    2×0.539198098363377-π/2
    1.07839619672675-1.57079632675     		φ = -0.49240013
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37093573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.253052°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49240013 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.212449°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36637 KachelY 38125 0.37093573 -0.49240013 21.253052 -28.212449
    Oben rechts KachelX + 1 36638 KachelY 38125 0.37103160 -0.49240013 21.258545 -28.212449
    Unten links KachelX 36637 KachelY + 1 38126 0.37093573 -0.49248461 21.253052 -28.217290
    Unten rechts KachelX + 1 36638 KachelY + 1 38126 0.37103160 -0.49248461 21.258545 -28.217290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49240013--0.49248461) × R
    8.44799999999979e-05 × 6371000     		dl = 538.222079999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49240013--0.49248461) × R
    8.44799999999979e-05 × 6371000     		dr = 538.222079999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37093573-0.37103160) × cos(-0.49240013) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.881200754988935 × 6371000     		do = 538.226644061996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37093573-0.37103160) × cos(-0.49248461) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.881160814579689 × 6371000     		du = 538.2022489485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49240013)-sin(-0.49248461))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881200754988935-0.881160814579689)×R²
    abs(0.37103160-0.37093573)×3.99404092463751e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.99404092463751e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.99404092463751e-05×40589641000000     		ar = 289678.899056285m²