Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36634 / 38183
↖ ↑ ↗
← S 28.492833°
E 21.236572°		 ← 536.81 m → S 28.492833°
E 21.242065°		 →
↑
536.82 m
↓
↑
536.82 m
↓
S 28.497661°
E 21.236572°		 ← 536.78 m →
288 162 m²		 S 28.497661°
E 21.242065°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36634 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558998107910156 y=0.582633972167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558998107910156 × 216)
    floor (0.558998107910156 × 65536)
    floor (36634.5)     		tx = 36634
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582633972167969 × 216)
    floor (0.582633972167969 × 65536)
    floor (38183.5)     		ty = 38183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36634 / 38183 ti = "16/36634/38183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36634/38183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36634 ÷ 216
    36634 ÷ 65536     		x = 0.558990478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38183 ÷ 216
    38183 ÷ 65536     		y = 0.582626342773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558990478515625 × 2 - 1) × π
    0.11798095703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.37064811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582626342773438 × 2 - 1) × π
    -0.165252685546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.519156622885208
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37064811} λ = 0.37064811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.519156622885208))-π/2
    2×atan(0.59502216449084)-π/2
    2×0.536751287743089-π/2
    1.07350257548618-1.57079632675     		φ = -0.49729375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37064811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.236572°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49729375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.492833°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36634 KachelY 38183 0.37064811 -0.49729375 21.236572 -28.492833
    Oben rechts KachelX + 1 36635 KachelY 38183 0.37074398 -0.49729375 21.242065 -28.492833
    Unten links KachelX 36634 KachelY + 1 38184 0.37064811 -0.49737801 21.236572 -28.497661
    Unten rechts KachelX + 1 36635 KachelY + 1 38184 0.37074398 -0.49737801 21.242065 -28.497661
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49729375--0.49737801) × R
    8.42600000000027e-05 × 6371000     		dl = 536.820460000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49729375--0.49737801) × R
    8.42600000000027e-05 × 6371000     		dr = 536.820460000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37064811-0.37074398) × cos(-0.49729375) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.878876792057695 × 6371000     		do = 536.807195925662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37064811-0.37074398) × cos(-0.49737801) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.878836592803586 × 6371000     		du = 536.782642712889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49729375)-sin(-0.49737801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878876792057695-0.878836592803586)×R²
    abs(0.37074398-0.37064811)×4.01992541090301e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.01992541090301e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.01992541090301e-05×40589641000000     		ar = 288162.495685115m²