Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36633 / 38167
↖ ↑ ↗
← S 28.415560°
E 21.231079°		 ← 537.26 m → S 28.415560°
E 21.236572°		 →
↑
537.20 m
↓
↑
537.20 m
↓
S 28.420391°
E 21.231079°		 ← 537.23 m →
288 609 m²		 S 28.420391°
E 21.236572°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558982849121094 y=0.582389831542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558982849121094 × 216)
    floor (0.558982849121094 × 65536)
    floor (36633.5)     		tx = 36633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582389831542969 × 216)
    floor (0.582389831542969 × 65536)
    floor (38167.5)     		ty = 38167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36633 / 38167 ti = "16/36633/38167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36633/38167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36633 ÷ 216
    36633 ÷ 65536     		x = 0.558975219726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38167 ÷ 216
    38167 ÷ 65536     		y = 0.582382202148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558975219726562 × 2 - 1) × π
    0.117950439453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.37055223
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582382202148438 × 2 - 1) × π
    -0.164764404296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.517622642097366
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37055223} λ = 0.37055223}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.517622642097366))-π/2
    2×atan(0.595935617490065)-π/2
    2×0.537425624299414-π/2
    1.07485124859883-1.57079632675     		φ = -0.49594508
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37055223} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.231079°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49594508 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.415560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36633 KachelY 38167 0.37055223 -0.49594508 21.231079 -28.415560
    Oben rechts KachelX + 1 36634 KachelY 38167 0.37064811 -0.49594508 21.236572 -28.415560
    Unten links KachelX 36633 KachelY + 1 38168 0.37055223 -0.49602940 21.231079 -28.420391
    Unten rechts KachelX + 1 36634 KachelY + 1 38168 0.37064811 -0.49602940 21.236572 -28.420391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49594508--0.49602940) × R
    8.43200000000266e-05 × 6371000     		dl = 537.202720000169m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49594508--0.49602940) × R
    8.43200000000266e-05 × 6371000     		dr = 537.202720000169m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37055223-0.37064811) × cos(-0.49594508) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.879519374006524 × 6371000     		do = 537.255711300518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37055223-0.37064811) × cos(-0.49602940) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.879479246105049 × 6371000     		du = 537.231199112512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49594508)-sin(-0.49602940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879519374006524-0.879479246105049)×R²
    abs(0.37064811-0.37055223)×4.01279014746736e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.01279014746736e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.01279014746736e-05×40589641000000     		ar = 288608.645610315m²