Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36632 / 38165
↖ ↑ ↗
← S 28.405896°
E 21.225586°		 ← 537.25 m → S 28.405896°
E 21.231079°		 →
↑
537.27 m
↓
↑
537.27 m
↓
S 28.410728°
E 21.225586°		 ← 537.22 m →
288 639 m²		 S 28.410728°
E 21.231079°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558967590332031 y=0.582359313964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558967590332031 × 216)
    floor (0.558967590332031 × 65536)
    floor (36632.5)     		tx = 36632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582359313964844 × 216)
    floor (0.582359313964844 × 65536)
    floor (38165.5)     		ty = 38165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36632 / 38165 ti = "16/36632/38165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36632/38165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36632 ÷ 216
    36632 ÷ 65536     		x = 0.5589599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38165 ÷ 216
    38165 ÷ 65536     		y = 0.582351684570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5589599609375 × 2 - 1) × π
    0.117919921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.37045636
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582351684570312 × 2 - 1) × π
    -0.164703369140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.517430894498886
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37045636} λ = 0.37045636}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.517430894498886))-π/2
    2×atan(0.596049897669692)-π/2
    2×0.53750995101015-π/2
    1.0750199020203-1.57079632675     		φ = -0.49577642
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37045636} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.225586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49577642 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.405896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36632 KachelY 38165 0.37045636 -0.49577642 21.225586 -28.405896
    Oben rechts KachelX + 1 36633 KachelY 38165 0.37055223 -0.49577642 21.231079 -28.405896
    Unten links KachelX 36632 KachelY + 1 38166 0.37045636 -0.49586075 21.225586 -28.410728
    Unten rechts KachelX + 1 36633 KachelY + 1 38166 0.37055223 -0.49586075 21.231079 -28.410728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49577642--0.49586075) × R
    8.43300000000213e-05 × 6371000     		dl = 537.266430000136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49577642--0.49586075) × R
    8.43300000000213e-05 × 6371000     		dr = 537.266430000136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37045636-0.37055223) × cos(-0.49577642) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.879599620563698 × 6371000     		do = 537.248690736935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37045636-0.37055223) × cos(-0.49586075) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.879559500412626 × 6371000     		du = 537.22418583933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49577642)-sin(-0.49586075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879599620563698-0.879559500412626)×R²
    abs(0.37055223-0.37045636)×4.01201510717986e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.01201510717986e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.01201510717986e-05×40589641000000     		ar = 288639.103436117m²