Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36630 / 38182
↖ ↑ ↗
← S 28.488005°
E 21.214599°		 ← 536.89 m → S 28.488005°
E 21.220093°		 →
↑
536.82 m
↓
↑
536.82 m
↓
S 28.492833°
E 21.214599°		 ← 536.86 m →
288 206 m²		 S 28.492833°
E 21.220093°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36630 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558937072753906 y=0.582618713378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558937072753906 × 216)
    floor (0.558937072753906 × 65536)
    floor (36630.5)     		tx = 36630
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582618713378906 × 216)
    floor (0.582618713378906 × 65536)
    floor (38182.5)     		ty = 38182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36630 / 38182 ti = "16/36630/38182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36630/38182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36630 ÷ 216
    36630 ÷ 65536     		x = 0.558929443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38182 ÷ 216
    38182 ÷ 65536     		y = 0.582611083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558929443359375 × 2 - 1) × π
    0.11785888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.37026461
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582611083984375 × 2 - 1) × π
    -0.16522216796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.519060749085968
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37026461} λ = 0.37026461}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.519060749085968))-π/2
    2×atan(0.595079214261127)-π/2
    2×0.536793419335037-π/2
    1.07358683867007-1.57079632675     		φ = -0.49720949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37026461} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.214599°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49720949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.488005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36630 KachelY 38182 0.37026461 -0.49720949 21.214599 -28.488005
    Oben rechts KachelX + 1 36631 KachelY 38182 0.37036049 -0.49720949 21.220093 -28.488005
    Unten links KachelX 36630 KachelY + 1 38183 0.37026461 -0.49729375 21.214599 -28.492833
    Unten rechts KachelX + 1 36631 KachelY + 1 38183 0.37036049 -0.49729375 21.220093 -28.492833
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49720949--0.49729375) × R
    8.42600000000027e-05 × 6371000     		dl = 536.820460000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49720949--0.49729375) × R
    8.42600000000027e-05 × 6371000     		dr = 536.820460000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37026461-0.37036049) × cos(-0.49720949) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.878916985072001 × 6371000     		do = 536.887741128329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37026461-0.37036049) × cos(-0.49729375) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.878876792057695 × 6371000     		du = 536.863189166054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49720949)-sin(-0.49729375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878916985072001-0.878876792057695)×R²
    abs(0.37036049-0.37026461)×4.01930143056894e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.01930143056894e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.01930143056894e-05×40589641000000     		ar = 288205.734333413m²