Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3663 / 5139
↖ ↑ ↗
← S 41.607228°
W 19.028320°		 ← 3 653.70 m → S 41.607228°
W 18.984375°		 →
↑
3 652.81 m
↓
↑
3 652.81 m
↓
S 41.640078°
W 19.028320°		 ← 3 651.84 m →
13 342 888 m²		 S 41.640078°
W 18.984375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44720458984375 y=0.62738037109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44720458984375 × 213)
    floor (0.44720458984375 × 8192)
    floor (3663.5)     		tx = 3663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62738037109375 × 213)
    floor (0.62738037109375 × 8192)
    floor (5139.5)     		ty = 5139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3663 / 5139 ti = "13/3663/5139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3663/5139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3663 ÷ 213
    3663 ÷ 8192     		x = 0.4471435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5139 ÷ 213
    5139 ÷ 8192     		y = 0.6273193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4471435546875 × 2 - 1) × π
    -0.105712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33210684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6273193359375 × 2 - 1) × π
    -0.254638671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.799970980859497
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33210684} λ = -0.33210684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.799970980859497))-π/2
    2×atan(0.449342003446757)-π/2
    2×0.422306600935701-π/2
    0.844613201871403-1.57079632675     		φ = -0.72618312
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33210684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.028320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72618312 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.607228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3663 KachelY 5139 -0.33210684 -0.72618312 -19.028320 -41.607228
    Oben rechts KachelX + 1 3664 KachelY 5139 -0.33133985 -0.72618312 -18.984375 -41.607228
    Unten links KachelX 3663 KachelY + 1 5140 -0.33210684 -0.72675647 -19.028320 -41.640078
    Unten rechts KachelX + 1 3664 KachelY + 1 5140 -0.33133985 -0.72675647 -18.984375 -41.640078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72618312--0.72675647) × R
    0.000573350000000028 × 6371000     		dl = 3652.81285000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72618312--0.72675647) × R
    0.000573350000000028 × 6371000     		dr = 3652.81285000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33210684--0.33133985) × cos(-0.72618312) × R
    0.000766990000000023 × 0.747714329479723 × 6371000     		do = 3653.70105383962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33210684--0.33133985) × cos(-0.72675647) × R
    0.000766990000000023 × 0.747333490424122 × 6371000     		du = 3651.84008634986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72618312)-sin(-0.72675647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747714329479723-0.747333490424122)×R²
    abs(-0.33133985--0.33210684)×0.000380839055600601×R²
    0.000766990000000023×0.000380839055600601×6371000²
    0.000766990000000023×0.000380839055600601×40589641000000     		ar = 13342887.6420615m²