Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3663 / 2457
↖ ↑ ↗
← N 58.240164°
W 19.028320°		 ← 2 572.05 m → N 58.240164°
W 18.984375°		 →
↑
2 572.86 m
↓
↑
2 572.86 m
↓
N 58.217025°
W 19.028320°		 ← 2 573.73 m →
6 619 705 m²		 N 58.217025°
W 18.984375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44720458984375 y=0.29998779296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44720458984375 × 213)
    floor (0.44720458984375 × 8192)
    floor (3663.5)     		tx = 3663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29998779296875 × 213)
    floor (0.29998779296875 × 8192)
    floor (2457.5)     		ty = 2457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3663 / 2457 ti = "13/3663/2457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3663/2457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3663 ÷ 213
    3663 ÷ 8192     		x = 0.4471435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2457 ÷ 213
    2457 ÷ 8192     		y = 0.2999267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4471435546875 × 2 - 1) × π
    -0.105712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33210684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2999267578125 × 2 - 1) × π
    0.400146484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.25709725563635
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33210684} λ = -0.33210684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25709725563635))-π/2
    2×atan(3.51520292812114)-π/2
    2×1.29363946875428-π/2
    2.58727893750857-1.57079632675     		φ = 1.01648261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33210684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.028320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01648261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.240164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3663 KachelY 2457 -0.33210684 1.01648261 -19.028320 58.240164
    Oben rechts KachelX + 1 3664 KachelY 2457 -0.33133985 1.01648261 -18.984375 58.240164
    Unten links KachelX 3663 KachelY + 1 2458 -0.33210684 1.01607877 -19.028320 58.217025
    Unten rechts KachelX + 1 3664 KachelY + 1 2458 -0.33133985 1.01607877 -18.984375 58.217025
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01648261-1.01607877) × R
    0.000403839999999933 × 6371000     		dl = 2572.86463999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01648261-1.01607877) × R
    0.000403839999999933 × 6371000     		dr = 2572.86463999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33210684--0.33133985) × cos(1.01648261) × R
    0.000766990000000023 × 0.526359903759825 × 6371000     		do = 2572.05413784751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33210684--0.33133985) × cos(1.01607877) × R
    0.000766990000000023 × 0.526703230583894 × 6371000     		du = 2573.7318020696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01648261)-sin(1.01607877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.526359903759825-0.526703230583894)×R²
    abs(-0.33133985--0.33210684)×0.000343326824069012×R²
    0.000766990000000023×0.000343326824069012×6371000²
    0.000766990000000023×0.000343326824069012×40589641000000     		ar = 6619705.43487714m²