Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3663 / 2391
↖ ↑ ↗
← N 59.734254°
W 19.028320°		 ← 2 462.85 m → N 59.734254°
W 18.984375°		 →
↑
2 463.67 m
↓
↑
2 463.67 m
↓
N 59.712097°
W 19.028320°		 ← 2 464.48 m →
6 069 645 m²		 N 59.712097°
W 18.984375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44720458984375 y=0.29193115234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44720458984375 × 213)
    floor (0.44720458984375 × 8192)
    floor (3663.5)     		tx = 3663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29193115234375 × 213)
    floor (0.29193115234375 × 8192)
    floor (2391.5)     		ty = 2391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3663 / 2391 ti = "13/3663/2391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3663/2391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3663 ÷ 213
    3663 ÷ 8192     		x = 0.4471435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2391 ÷ 213
    2391 ÷ 8192     		y = 0.2918701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4471435546875 × 2 - 1) × π
    -0.105712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33210684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2918701171875 × 2 - 1) × π
    0.416259765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.30771862163513
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33210684} λ = -0.33210684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30771862163513))-π/2
    2×atan(3.69772816509399)-π/2
    2×1.30667786282865-π/2
    2.6133557256573-1.57079632675     		φ = 1.04255940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33210684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.028320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04255940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.734254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3663 KachelY 2391 -0.33210684 1.04255940 -19.028320 59.734254
    Oben rechts KachelX + 1 3664 KachelY 2391 -0.33133985 1.04255940 -18.984375 59.734254
    Unten links KachelX 3663 KachelY + 1 2392 -0.33210684 1.04217270 -19.028320 59.712097
    Unten rechts KachelX + 1 3664 KachelY + 1 2392 -0.33133985 1.04217270 -18.984375 59.712097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04255940-1.04217270) × R
    0.000386699999999962 × 6371000     		dl = 2463.66569999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04255940-1.04217270) × R
    0.000386699999999962 × 6371000     		dr = 2463.66569999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33210684--0.33133985) × cos(1.04255940) × R
    0.000766990000000023 × 0.504011364259162 × 6371000     		do = 2462.84814953622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33210684--0.33133985) × cos(1.04217270) × R
    0.000766990000000023 × 0.504345318204851 × 6371000     		du = 2464.48001325099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04255940)-sin(1.04217270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.504011364259162-0.504345318204851)×R²
    abs(-0.33133985--0.33210684)×0.00033395394568847×R²
    0.000766990000000023×0.00033395394568847×6371000²
    0.000766990000000023×0.00033395394568847×40589641000000     		ar = 6069644.76928784m²