Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36629 / 38161
↖ ↑ ↗
← S 28.386568°
E 21.209107°		 ← 537.35 m → S 28.386568°
E 21.214599°		 →
↑
537.39 m
↓
↑
537.39 m
↓
S 28.391401°
E 21.209107°		 ← 537.32 m →
288 760 m²		 S 28.391401°
E 21.214599°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36629 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558921813964844 y=0.582298278808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558921813964844 × 216)
    floor (0.558921813964844 × 65536)
    floor (36629.5)     		tx = 36629
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582298278808594 × 216)
    floor (0.582298278808594 × 65536)
    floor (38161.5)     		ty = 38161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36629 / 38161 ti = "16/36629/38161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36629/38161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36629 ÷ 216
    36629 ÷ 65536     		x = 0.558914184570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38161 ÷ 216
    38161 ÷ 65536     		y = 0.582290649414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558914184570312 × 2 - 1) × π
    0.117828369140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.37016874
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582290649414062 × 2 - 1) × π
    -0.164581298828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.517047399301926
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37016874} λ = 0.37016874}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.517047399301926))-π/2
    2×atan(0.596278523778302)-π/2
    2×0.537678627507106-π/2
    1.07535725501421-1.57079632675     		φ = -0.49543907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37016874} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.209107°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49543907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.386568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36629 KachelY 38161 0.37016874 -0.49543907 21.209107 -28.386568
    Oben rechts KachelX + 1 36630 KachelY 38161 0.37026461 -0.49543907 21.214599 -28.386568
    Unten links KachelX 36629 KachelY + 1 38162 0.37016874 -0.49552342 21.209107 -28.391401
    Unten rechts KachelX + 1 36630 KachelY + 1 38162 0.37026461 -0.49552342 21.214599 -28.391401
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49543907--0.49552342) × R
    8.43500000000108e-05 × 6371000     		dl = 537.393850000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49543907--0.49552342) × R
    8.43500000000108e-05 × 6371000     		dr = 537.393850000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37016874-0.37026461) × cos(-0.49543907) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.879760052874515 × 6371000     		do = 537.346680830295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37016874-0.37026461) × cos(-0.49552342) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.8797199482388 × 6371000     		du = 537.32218540928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49543907)-sin(-0.49552342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879760052874515-0.8797199482388)×R²
    abs(0.37026461-0.37016874)×4.01046357152435e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.01046357152435e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.01046357152435e-05×40589641000000     		ar = 288760.219923115m²