Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36628 / 38181
↖ ↑ ↗
← S 28.483177°
E 21.203614°		 ← 536.86 m → S 28.483177°
E 21.209107°		 →
↑
536.88 m
↓
↑
536.88 m
↓
S 28.488005°
E 21.203614°		 ← 536.83 m →
288 223 m²		 S 28.488005°
E 21.209107°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36628 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558906555175781 y=0.582603454589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558906555175781 × 216)
    floor (0.558906555175781 × 65536)
    floor (36628.5)     		tx = 36628
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582603454589844 × 216)
    floor (0.582603454589844 × 65536)
    floor (38181.5)     		ty = 38181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36628 / 38181 ti = "16/36628/38181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36628/38181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36628 ÷ 216
    36628 ÷ 65536     		x = 0.55889892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38181 ÷ 216
    38181 ÷ 65536     		y = 0.582595825195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55889892578125 × 2 - 1) × π
    0.1177978515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.37007287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582595825195312 × 2 - 1) × π
    -0.165191650390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.518964875286728
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37007287} λ = 0.37007287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.518964875286728))-π/2
    2×atan(0.595136269501255)-π/2
    2×0.53683555285368-π/2
    1.07367110570736-1.57079632675     		φ = -0.49712522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37007287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.203614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49712522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.483177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36628 KachelY 38181 0.37007287 -0.49712522 21.203614 -28.483177
    Oben rechts KachelX + 1 36629 KachelY 38181 0.37016874 -0.49712522 21.209107 -28.483177
    Unten links KachelX 36628 KachelY + 1 38182 0.37007287 -0.49720949 21.203614 -28.488005
    Unten rechts KachelX + 1 36629 KachelY + 1 38182 0.37016874 -0.49720949 21.209107 -28.488005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49712522--0.49720949) × R
    8.42699999999974e-05 × 6371000     		dl = 536.884169999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49712522--0.49720949) × R
    8.42699999999974e-05 × 6371000     		dr = 536.884169999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37007287-0.37016874) × cos(-0.49712522) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.878957176615225 × 6371000     		do = 536.856293830298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37007287-0.37016874) × cos(-0.49720949) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.878916985072001 × 6371000     		du = 536.831745327239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49712522)-sin(-0.49720949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878957176615225-0.878916985072001)×R²
    abs(0.37016874-0.37007287)×4.01915432239885e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.01915432239885e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.01915432239885e-05×40589641000000     		ar = 288223.056041645m²