Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36627 / 38151
↖ ↑ ↗
← S 28.338230°
E 21.198120°		 ← 537.65 m → S 28.338230°
E 21.203614°		 →
↑
537.58 m
↓
↑
537.58 m
↓
S 28.343065°
E 21.198120°		 ← 537.62 m →
289 025 m²		 S 28.343065°
E 21.203614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36627 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558891296386719 y=0.582145690917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558891296386719 × 216)
    floor (0.558891296386719 × 65536)
    floor (36627.5)     		tx = 36627
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582145690917969 × 216)
    floor (0.582145690917969 × 65536)
    floor (38151.5)     		ty = 38151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36627 / 38151 ti = "16/36627/38151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36627/38151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36627 ÷ 216
    36627 ÷ 65536     		x = 0.558883666992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38151 ÷ 216
    38151 ÷ 65536     		y = 0.582138061523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558883666992188 × 2 - 1) × π
    0.117767333984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.36997699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582138061523438 × 2 - 1) × π
    -0.164276123046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.516088661309525
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36997699} λ = 0.36997699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.516088661309525))-π/2
    2×atan(0.596850472783912)-π/2
    2×0.538100453277181-π/2
    1.07620090655436-1.57079632675     		φ = -0.49459542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36997699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.198120°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49459542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.338230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36627 KachelY 38151 0.36997699 -0.49459542 21.198120 -28.338230
    Oben rechts KachelX + 1 36628 KachelY 38151 0.37007287 -0.49459542 21.203614 -28.338230
    Unten links KachelX 36627 KachelY + 1 38152 0.36997699 -0.49467980 21.198120 -28.343065
    Unten rechts KachelX + 1 36628 KachelY + 1 38152 0.37007287 -0.49467980 21.203614 -28.343065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49459542--0.49467980) × R
    8.4379999999995e-05 × 6371000     		dl = 537.584979999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49459542--0.49467980) × R
    8.4379999999995e-05 × 6371000     		dr = 537.584979999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36997699-0.37007287) × cos(-0.49459542) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.880160826117605 × 6371000     		do = 537.64754327192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36997699-0.37007287) × cos(-0.49467980) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.880120769857609 × 6371000     		du = 537.623074846219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49459542)-sin(-0.49467980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880160826117605-0.880120769857609)×R²
    abs(0.37007287-0.36997699)×4.00562599957022e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.00562599957022e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.00562599957022e-05×40589641000000     		ar = 289024.667039354m²