Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36627 / 38136
↖ ↑ ↗
← S 28.265682°
E 21.198120°		 ← 538.01 m → S 28.265682°
E 21.203614°		 →
↑
537.97 m
↓
↑
537.97 m
↓
S 28.270520°
E 21.198120°		 ← 537.99 m →
289 427 m²		 S 28.270520°
E 21.203614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36627 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558891296386719 y=0.581916809082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558891296386719 × 216)
    floor (0.558891296386719 × 65536)
    floor (36627.5)     		tx = 36627
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581916809082031 × 216)
    floor (0.581916809082031 × 65536)
    floor (38136.5)     		ty = 38136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36627 / 38136 ti = "16/36627/38136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36627/38136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36627 ÷ 216
    36627 ÷ 65536     		x = 0.558883666992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38136 ÷ 216
    38136 ÷ 65536     		y = 0.5819091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558883666992188 × 2 - 1) × π
    0.117767333984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.36997699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5819091796875 × 2 - 1) × π
    -0.163818359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.514650554320923
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36997699} λ = 0.36997699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.514650554320923))-π/2
    2×atan(0.597709425104603)-π/2
    2×0.538733551888408-π/2
    1.07746710377682-1.57079632675     		φ = -0.49332922
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36997699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.198120°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49332922 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.265682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36627 KachelY 38136 0.36997699 -0.49332922 21.198120 -28.265682
    Oben rechts KachelX + 1 36628 KachelY 38136 0.37007287 -0.49332922 21.203614 -28.265682
    Unten links KachelX 36627 KachelY + 1 38137 0.36997699 -0.49341366 21.198120 -28.270520
    Unten rechts KachelX + 1 36628 KachelY + 1 38137 0.37007287 -0.49341366 21.203614 -28.270520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49332922--0.49341366) × R
    8.44399999999634e-05 × 6371000     		dl = 537.967239999767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49332922--0.49341366) × R
    8.44399999999634e-05 × 6371000     		dr = 537.967239999767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36997699-0.37007287) × cos(-0.49332922) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.880761154630661 × 6371000     		do = 538.014254832607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36997699-0.37007287) × cos(-0.49341366) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.880721164020609 × 6371000     		du = 537.98982650927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49332922)-sin(-0.49341366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880761154630661-0.880721164020609)×R²
    abs(0.37007287-0.36997699)×3.99906100519987e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.99906100519987e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.99906100519987e-05×40589641000000     		ar = 289427.473106071m²