Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36625 / 38159
↖ ↑ ↗
← S 28.376902°
E 21.187134°		 ← 537.45 m → S 28.376902°
E 21.192627°		 →
↑
537.39 m
↓
↑
537.39 m
↓
S 28.381735°
E 21.187134°		 ← 537.43 m →
288 817 m²		 S 28.381735°
E 21.192627°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558860778808594 y=0.582267761230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558860778808594 × 216)
    floor (0.558860778808594 × 65536)
    floor (36625.5)     		tx = 36625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582267761230469 × 216)
    floor (0.582267761230469 × 65536)
    floor (38159.5)     		ty = 38159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36625 / 38159 ti = "16/36625/38159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36625/38159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36625 ÷ 216
    36625 ÷ 65536     		x = 0.558853149414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38159 ÷ 216
    38159 ÷ 65536     		y = 0.582260131835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558853149414062 × 2 - 1) × π
    0.117706298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.36978524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582260131835938 × 2 - 1) × π
    -0.164520263671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.516855651703445
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36978524} λ = 0.36978524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.516855651703445))-π/2
    2×atan(0.596392869715691)-π/2
    2×0.537762977289929-π/2
    1.07552595457986-1.57079632675     		φ = -0.49527037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36978524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.187134°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49527037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.376902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36625 KachelY 38159 0.36978524 -0.49527037 21.187134 -28.376902
    Oben rechts KachelX + 1 36626 KachelY 38159 0.36988112 -0.49527037 21.192627 -28.376902
    Unten links KachelX 36625 KachelY + 1 38160 0.36978524 -0.49535472 21.187134 -28.381735
    Unten rechts KachelX + 1 36626 KachelY + 1 38160 0.36988112 -0.49535472 21.192627 -28.381735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49527037--0.49535472) × R
    8.43500000000108e-05 × 6371000     		dl = 537.393850000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49527037--0.49535472) × R
    8.43500000000108e-05 × 6371000     		dr = 537.393850000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36978524-0.36988112) × cos(-0.49527037) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.879840243367386 × 6371000     		do = 537.451714824487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36978524-0.36988112) × cos(-0.49535472) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.879800151250806 × 6371000     		du = 537.427224495737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49527037)-sin(-0.49535472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879840243367386-0.879800151250806)×R²
    abs(0.36988112-0.36978524)×4.00921165807366e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.00921165807366e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.00921165807366e-05×40589641000000     		ar = 288816.665913858m²