Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36625 / 38127
↖ ↑ ↗
← S 28.222130°
E 21.187134°		 ← 538.23 m → S 28.222130°
E 21.192627°		 →
↑
538.16 m
↓
↑
538.16 m
↓
S 28.226970°
E 21.187134°		 ← 538.21 m →
289 649 m²		 S 28.226970°
E 21.192627°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558860778808594 y=0.581779479980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558860778808594 × 216)
    floor (0.558860778808594 × 65536)
    floor (36625.5)     		tx = 36625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581779479980469 × 216)
    floor (0.581779479980469 × 65536)
    floor (38127.5)     		ty = 38127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36625 / 38127 ti = "16/36625/38127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36625/38127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36625 ÷ 216
    36625 ÷ 65536     		x = 0.558853149414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38127 ÷ 216
    38127 ÷ 65536     		y = 0.581771850585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558853149414062 × 2 - 1) × π
    0.117706298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.36978524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581771850585938 × 2 - 1) × π
    -0.163543701171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.513787690127762
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36978524} λ = 0.36978524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.513787690127762))-π/2
    2×atan(0.598225389737131)-π/2
    2×0.539113618128514-π/2
    1.07822723625703-1.57079632675     		φ = -0.49256909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36978524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.187134°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49256909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.222130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36625 KachelY 38127 0.36978524 -0.49256909 21.187134 -28.222130
    Oben rechts KachelX + 1 36626 KachelY 38127 0.36988112 -0.49256909 21.192627 -28.222130
    Unten links KachelX 36625 KachelY + 1 38128 0.36978524 -0.49265356 21.187134 -28.226970
    Unten rechts KachelX + 1 36626 KachelY + 1 38128 0.36988112 -0.49265356 21.192627 -28.226970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49256909--0.49265356) × R
    8.44700000000032e-05 × 6371000     		dl = 538.15837000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49256909--0.49265356) × R
    8.44700000000032e-05 × 6371000     		dr = 538.15837000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36978524-0.36988112) × cos(-0.49256909) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.881120867881712 × 6371000     		do = 538.233986204387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36978524-0.36988112) × cos(-0.49265356) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.881080919624945 × 6371000     		du = 538.209583752618m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49256909)-sin(-0.49265356))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881120867881712-0.881080919624945)×R²
    abs(0.36988112-0.36978524)×3.99482567666753e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.99482567666753e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.99482567666753e-05×40589641000000     		ar = 289648.558674713m²