Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36624 / 38160
↖ ↑ ↗
← S 28.381735°
E 21.181641°		 ← 537.37 m → S 28.381735°
E 21.187134°		 →
↑
537.39 m
↓
↑
537.39 m
↓
S 28.386568°
E 21.181641°		 ← 537.35 m →
288 773 m²		 S 28.386568°
E 21.187134°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558845520019531 y=0.582283020019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558845520019531 × 216)
    floor (0.558845520019531 × 65536)
    floor (36624.5)     		tx = 36624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582283020019531 × 216)
    floor (0.582283020019531 × 65536)
    floor (38160.5)     		ty = 38160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36624 / 38160 ti = "16/36624/38160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36624/38160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36624 ÷ 216
    36624 ÷ 65536     		x = 0.558837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38160 ÷ 216
    38160 ÷ 65536     		y = 0.582275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558837890625 × 2 - 1) × π
    0.11767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.36968937
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582275390625 × 2 - 1) × π
    -0.16455078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.516951525502686
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36968937} λ = 0.36968937}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.516951525502686))-π/2
    2×atan(0.596335694006302)-π/2
    2×0.537720801437499-π/2
    1.075441602875-1.57079632675     		φ = -0.49535472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36968937} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.181641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49535472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.381735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36624 KachelY 38160 0.36968937 -0.49535472 21.181641 -28.381735
    Oben rechts KachelX + 1 36625 KachelY 38160 0.36978524 -0.49535472 21.187134 -28.381735
    Unten links KachelX 36624 KachelY + 1 38161 0.36968937 -0.49543907 21.181641 -28.386568
    Unten rechts KachelX + 1 36625 KachelY + 1 38161 0.36978524 -0.49543907 21.187134 -28.386568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49535472--0.49543907) × R
    8.43499999999553e-05 × 6371000     		dl = 537.393849999715m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49535472--0.49543907) × R
    8.43499999999553e-05 × 6371000     		dr = 537.393849999715m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36968937-0.36978524) × cos(-0.49535472) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.879800151250806 × 6371000     		do = 537.371172428131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36968937-0.36978524) × cos(-0.49543907) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.879760052874515 × 6371000     		du = 537.346680830295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49535472)-sin(-0.49543907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879800151250806-0.879760052874515)×R²
    abs(0.36978524-0.36968937)×4.00983762905982e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.00983762905982e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.00983762905982e-05×40589641000000     		ar = 288773.382584139m²