Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36622 / 38134
↖ ↑ ↗
← S 28.256006°
E 21.170654°		 ← 538.06 m → S 28.256006°
E 21.176148°		 →
↑
538.03 m
↓
↑
538.03 m
↓
S 28.260844°
E 21.170654°		 ← 538.04 m →
289 488 m²		 S 28.260844°
E 21.176148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558815002441406 y=0.581886291503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558815002441406 × 216)
    floor (0.558815002441406 × 65536)
    floor (36622.5)     		tx = 36622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581886291503906 × 216)
    floor (0.581886291503906 × 65536)
    floor (38134.5)     		ty = 38134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36622 / 38134 ti = "16/36622/38134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36622/38134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36622 ÷ 216
    36622 ÷ 65536     		x = 0.558807373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38134 ÷ 216
    38134 ÷ 65536     		y = 0.581878662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558807373046875 × 2 - 1) × π
    0.11761474609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.36949762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581878662109375 × 2 - 1) × π
    -0.16375732421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.514458806722443
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36949762} λ = 0.36949762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.514458806722443))-π/2
    2×atan(0.597824045440192)-π/2
    2×0.538817997639941-π/2
    1.07763599527988-1.57079632675     		φ = -0.49316033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36949762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.170654°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49316033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.256006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36622 KachelY 38134 0.36949762 -0.49316033 21.170654 -28.256006
    Oben rechts KachelX + 1 36623 KachelY 38134 0.36959350 -0.49316033 21.176148 -28.256006
    Unten links KachelX 36622 KachelY + 1 38135 0.36949762 -0.49324478 21.170654 -28.260844
    Unten rechts KachelX + 1 36623 KachelY + 1 38135 0.36959350 -0.49324478 21.176148 -28.260844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49316033--0.49324478) × R
    8.44500000000137e-05 × 6371000     		dl = 538.030950000087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49316033--0.49324478) × R
    8.44500000000137e-05 × 6371000     		dr = 538.030950000087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36949762-0.36959350) × cos(-0.49316033) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.880841121744818 × 6371000     		do = 538.063102862641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36949762-0.36959350) × cos(-0.49324478) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.880801138960786 × 6371000     		du = 538.03867931984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49316033)-sin(-0.49324478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880841121744818-0.880801138960786)×R²
    abs(0.36959350-0.36949762)×3.99827840327216e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.99827840327216e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.99827840327216e-05×40589641000000     		ar = 289488.032254174m²