Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36622 / 105102
↖ ↑ ↗
← S 72.930926°
W 79.414673°		 ← 89.65 m → S 72.930926°
W 79.411926°		 →
↑
89.64 m
↓
↑
89.64 m
↓
S 72.931732°
W 79.414673°		 ← 89.65 m →
8 036 m²		 S 72.931732°
W 79.411926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279407501220703 y=0.801868438720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279407501220703 × 217)
    floor (0.279407501220703 × 131072)
    floor (36622.5)     		tx = 36622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801868438720703 × 217)
    floor (0.801868438720703 × 131072)
    floor (105102.5)     		ty = 105102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36622 / 105102 ti = "17/36622/105102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36622/105102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36622 ÷ 217
    36622 ÷ 131072     		x = 0.279403686523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105102 ÷ 217
    105102 ÷ 131072     		y = 0.801864624023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279403686523438 × 2 - 1) × π
    -0.441192626953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.38604752
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.801864624023438 × 2 - 1) × π
    -0.603729248046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.89667137036714
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38604752} λ = -1.38604752}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89667137036714))-π/2
    2×atan(0.150067307274192)-π/2
    2×0.148955773144475-π/2
    0.297911546288949-1.57079632675     		φ = -1.27288478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38604752} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.414673°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27288478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.930926°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36622 KachelY 105102 -1.38604752 -1.27288478 -79.414673 -72.930926
    Oben rechts KachelX + 1 36623 KachelY 105102 -1.38599958 -1.27288478 -79.411926 -72.930926
    Unten links KachelX 36622 KachelY + 1 105103 -1.38604752 -1.27289885 -79.414673 -72.931732
    Unten rechts KachelX + 1 36623 KachelY + 1 105103 -1.38599958 -1.27289885 -79.411926 -72.931732
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27288478--1.27289885) × R
    1.40699999999772e-05 × 6371000     		dl = 89.6399699998545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27288478--1.27289885) × R
    1.40699999999772e-05 × 6371000     		dr = 89.6399699998545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38604752--1.38599958) × cos(-1.27288478) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.293524388083376 × 6371000     		do = 89.6499034383535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38604752--1.38599958) × cos(-1.27289885) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.293510937815516 × 6371000     		du = 89.6457953803393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27288478)-sin(-1.27289885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293524388083376-0.293510937815516)×R²
    abs(-1.38599958--1.38604752)×1.34502678596493e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34502678596493e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34502678596493e-05×40589641000000     		ar = 8036.03053186677m²