Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36620 / 38155
↖ ↑ ↗
← S 28.357568°
E 21.159668°		 ← 537.55 m → S 28.357568°
E 21.165161°		 →
↑
537.46 m
↓
↑
537.46 m
↓
S 28.362402°
E 21.159668°		 ← 537.53 m →
288 904 m²		 S 28.362402°
E 21.165161°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38155 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558784484863281 y=0.582206726074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558784484863281 × 216)
    floor (0.558784484863281 × 65536)
    floor (36620.5)     		tx = 36620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582206726074219 × 216)
    floor (0.582206726074219 × 65536)
    floor (38155.5)     		ty = 38155
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36620 / 38155 ti = "16/36620/38155"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36620/38155.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36620 ÷ 216
    36620 ÷ 65536     		x = 0.55877685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38155 ÷ 216
    38155 ÷ 65536     		y = 0.582199096679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55877685546875 × 2 - 1) × π
    0.1175537109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.36930587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582199096679688 × 2 - 1) × π
    -0.164398193359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.516472156506485
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36930587} λ = 0.36930587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.516472156506485))-π/2
    2×atan(0.596621627377657)-π/2
    2×0.537931699915766-π/2
    1.07586339983153-1.57079632675     		φ = -0.49493293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36930587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.159668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49493293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.357568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36620 KachelY 38155 0.36930587 -0.49493293 21.159668 -28.357568
    Oben rechts KachelX + 1 36621 KachelY 38155 0.36940175 -0.49493293 21.165161 -28.357568
    Unten links KachelX 36620 KachelY + 1 38156 0.36930587 -0.49501729 21.159668 -28.362402
    Unten rechts KachelX + 1 36621 KachelY + 1 38156 0.36940175 -0.49501729 21.165161 -28.362402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49493293--0.49501729) × R
    8.43600000000055e-05 × 6371000     		dl = 537.457560000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49493293--0.49501729) × R
    8.43600000000055e-05 × 6371000     		dr = 537.457560000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36930587-0.36940175) × cos(-0.49493293) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.880000568229812 × 6371000     		do = 537.54964950398m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36930587-0.36940175) × cos(-0.49501729) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.879960496407423 × 6371000     		du = 537.525171571968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49493293)-sin(-0.49501729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880000568229812-0.879960496407423)×R²
    abs(0.36940175-0.36930587)×4.00718223886321e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.00718223886321e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.00718223886321e-05×40589641000000     		ar = 288903.545247707m²