Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3662 / 2393
↖ ↑ ↗
← N 59.689926°
W 19.072266°		 ← 2 466.11 m → N 59.689926°
W 19.028320°		 →
↑
2 466.91 m
↓
↑
2 466.91 m
↓
N 59.667741°
W 19.072266°		 ← 2 467.75 m →
6 085 705 m²		 N 59.667741°
W 19.028320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44708251953125 y=0.29217529296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44708251953125 × 213)
    floor (0.44708251953125 × 8192)
    floor (3662.5)     		tx = 3662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29217529296875 × 213)
    floor (0.29217529296875 × 8192)
    floor (2393.5)     		ty = 2393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3662 / 2393 ti = "13/3662/2393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3662/2393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3662 ÷ 213
    3662 ÷ 8192     		x = 0.447021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2393 ÷ 213
    2393 ÷ 8192     		y = 0.2921142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447021484375 × 2 - 1) × π
    -0.10595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33287383
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2921142578125 × 2 - 1) × π
    0.415771484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.30618464084729
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33287383} λ = -0.33287383}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30618464084729))-π/2
    2×atan(3.692060269463)-π/2
    2×1.30629103479503-π/2
    2.61258206959005-1.57079632675     		φ = 1.04178574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33287383} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.072266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04178574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.689926°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3662 KachelY 2393 -0.33287383 1.04178574 -19.072266 59.689926
    Oben rechts KachelX + 1 3663 KachelY 2393 -0.33210684 1.04178574 -19.028320 59.689926
    Unten links KachelX 3662 KachelY + 1 2394 -0.33287383 1.04139853 -19.072266 59.667741
    Unten rechts KachelX + 1 3663 KachelY + 1 2394 -0.33210684 1.04139853 -19.028320 59.667741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04178574-1.04139853) × R
    0.000387209999999971 × 6371000     		dl = 2466.91490999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04178574-1.04139853) × R
    0.000387209999999971 × 6371000     		dr = 2466.91490999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33287383--0.33210684) × cos(1.04178574) × R
    0.000766989999999967 × 0.504679421192103 × 6371000     		do = 2466.11260525619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33287383--0.33210684) × cos(1.04139853) × R
    0.000766989999999967 × 0.5050136643875 × 6371000     		du = 2467.74588238773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04178574)-sin(1.04139853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.504679421192103-0.5050136643875)×R²
    abs(-0.33210684--0.33287383)×0.00033424319539721×R²
    0.000766989999999967×0.00033424319539721×6371000²
    0.000766989999999967×0.00033424319539721×40589641000000     		ar = 6085704.60953483m²