Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3662 / 2384
↖ ↑ ↗
← N 59.888937°
W 19.072266°		 ← 2 451.45 m → N 59.888937°
W 19.028320°		 →
↑
2 452.26 m
↓
↑
2 452.26 m
↓
N 59.866883°
W 19.072266°		 ← 2 453.07 m →
6 013 580 m²		 N 59.866883°
W 19.028320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44708251953125 y=0.29107666015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44708251953125 × 213)
    floor (0.44708251953125 × 8192)
    floor (3662.5)     		tx = 3662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29107666015625 × 213)
    floor (0.29107666015625 × 8192)
    floor (2384.5)     		ty = 2384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3662 / 2384 ti = "13/3662/2384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3662/2384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3662 ÷ 213
    3662 ÷ 8192     		x = 0.447021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2384 ÷ 213
    2384 ÷ 8192     		y = 0.291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447021484375 × 2 - 1) × π
    -0.10595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33287383
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291015625 × 2 - 1) × π
    0.41796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.31308755439258
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33287383} λ = -0.33287383}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31308755439258))-π/2
    2×atan(3.71763440879247)-π/2
    2×1.30802773057187-π/2
    2.61605546114375-1.57079632675     		φ = 1.04525913
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33287383} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.072266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04525913 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.888937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3662 KachelY 2384 -0.33287383 1.04525913 -19.072266 59.888937
    Oben rechts KachelX + 1 3663 KachelY 2384 -0.33210684 1.04525913 -19.028320 59.888937
    Unten links KachelX 3662 KachelY + 1 2385 -0.33287383 1.04487422 -19.072266 59.866883
    Unten rechts KachelX + 1 3663 KachelY + 1 2385 -0.33210684 1.04487422 -19.028320 59.866883
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04525913-1.04487422) × R
    0.000384909999999961 × 6371000     		dl = 2452.26160999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04525913-1.04487422) × R
    0.000384909999999961 × 6371000     		dr = 2452.26160999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33287383--0.33210684) × cos(1.04525913) × R
    0.000766989999999967 × 0.501677781579305 × 6371000     		do = 2451.44511342926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33287383--0.33210684) × cos(1.04487422) × R
    0.000766989999999967 × 0.502010712561161 × 6371000     		du = 2453.07197843813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04525913)-sin(1.04487422))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.501677781579305-0.502010712561161)×R²
    abs(-0.33210684--0.33287383)×0.00033293098185605×R²
    0.000766989999999967×0.00033293098185605×6371000²
    0.000766989999999967×0.00033293098185605×40589641000000     		ar = 6013579.56423241m²