Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36619 / 38154
↖ ↑ ↗
← S 28.352734°
E 21.154175°		 ← 537.52 m → S 28.352734°
E 21.159668°		 →
↑
537.52 m
↓
↑
537.52 m
↓
S 28.357568°
E 21.154175°		 ← 537.49 m →
288 921 m²		 S 28.357568°
E 21.159668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558769226074219 y=0.582191467285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558769226074219 × 216)
    floor (0.558769226074219 × 65536)
    floor (36619.5)     		tx = 36619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582191467285156 × 216)
    floor (0.582191467285156 × 65536)
    floor (38154.5)     		ty = 38154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36619 / 38154 ti = "16/36619/38154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36619/38154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36619 ÷ 216
    36619 ÷ 65536     		x = 0.558761596679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38154 ÷ 216
    38154 ÷ 65536     		y = 0.582183837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558761596679688 × 2 - 1) × π
    0.117523193359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.36921000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582183837890625 × 2 - 1) × π
    -0.16436767578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.516376282707245
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36921000} λ = 0.36921000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.516376282707245))-π/2
    2×atan(0.59667883050188)-π/2
    2×0.537973885375191-π/2
    1.07594777075038-1.57079632675     		φ = -0.49484856
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36921000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.154175°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49484856 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.352734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36619 KachelY 38154 0.36921000 -0.49484856 21.154175 -28.352734
    Oben rechts KachelX + 1 36620 KachelY 38154 0.36930587 -0.49484856 21.159668 -28.352734
    Unten links KachelX 36619 KachelY + 1 38155 0.36921000 -0.49493293 21.154175 -28.357568
    Unten rechts KachelX + 1 36620 KachelY + 1 38155 0.36930587 -0.49493293 21.159668 -28.357568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49484856--0.49493293) × R
    8.43700000000003e-05 × 6371000     		dl = 537.521270000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49484856--0.49493293) × R
    8.43700000000003e-05 × 6371000     		dr = 537.521270000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36921000-0.36930587) × cos(-0.49484856) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.880040638538564 × 6371000     		do = 537.518059122334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36921000-0.36930587) × cos(-0.49493293) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.880000568229812 × 6371000     		du = 537.493584667808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49484856)-sin(-0.49493293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880040638538564-0.880000568229812)×R²
    abs(0.36930587-0.36921000)×4.00703087520826e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.00703087520826e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.00703087520826e-05×40589641000000     		ar = 288920.812188716m²