Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36619 / 28915
↖ ↑ ↗
← N 70.389841°
W 79.422913°		 ← 102.51 m → N 70.389841°
W 79.420166°		 →
↑
102.45 m
↓
↑
102.45 m
↓
N 70.388919°
W 79.422913°		 ← 102.51 m →
10 502 m²		 N 70.388919°
W 79.420166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28915 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279384613037109 y=0.220607757568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279384613037109 × 217)
    floor (0.279384613037109 × 131072)
    floor (36619.5)     		tx = 36619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.220607757568359 × 217)
    floor (0.220607757568359 × 131072)
    floor (28915.5)     		ty = 28915
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36619 / 28915 ti = "17/36619/28915"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36619/28915.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36619 ÷ 217
    36619 ÷ 131072     		x = 0.279380798339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28915 ÷ 217
    28915 ÷ 131072     		y = 0.220603942871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279380798339844 × 2 - 1) × π
    -0.441238403320312 × 3.1415926535     		Λ = -1.38619133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.220603942871094 × 2 - 1) × π
    0.558792114257812 × 3.1415926535     		Φ = 1.75549720098608
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38619133} λ = -1.38619133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75549720098608))-π/2
    2×atan(5.78632399285513)-π/2
    2×1.39966540531726-π/2
    2.79933081063453-1.57079632675     		φ = 1.22853448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38619133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.422913°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22853448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.389841°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36619 KachelY 28915 -1.38619133 1.22853448 -79.422913 70.389841
    Oben rechts KachelX + 1 36620 KachelY 28915 -1.38614339 1.22853448 -79.420166 70.389841
    Unten links KachelX 36619 KachelY + 1 28916 -1.38619133 1.22851840 -79.422913 70.388919
    Unten rechts KachelX + 1 36620 KachelY + 1 28916 -1.38614339 1.22851840 -79.420166 70.388919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22853448-1.22851840) × R
    1.60799999999739e-05 × 6371000     		dl = 102.445679999834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22853448-1.22851840) × R
    1.60799999999739e-05 × 6371000     		dr = 102.445679999834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38619133--1.38614339) × cos(1.22853448) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.335618603889799 × 6371000     		do = 102.506560450741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38619133--1.38614339) × cos(1.22851840) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.335633751173571 × 6371000     		du = 102.511186821097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22853448)-sin(1.22851840))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335618603889799-0.335633751173571)×R²
    abs(-1.38614339--1.38619133)×1.51472837728317e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51472837728317e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51472837728317e-05×40589641000000     		ar = 10501.5912657414m²