Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36617 / 28917
↖ ↑ ↗
← N 70.387997°
W 79.428406°		 ← 102.52 m → N 70.387997°
W 79.425659°		 →
↑
102.51 m
↓
↑
102.51 m
↓
N 70.387076°
W 79.428406°		 ← 102.52 m →
10 509 m²		 N 70.387076°
W 79.425659°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36617 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28917 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279369354248047 y=0.220623016357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279369354248047 × 217)
    floor (0.279369354248047 × 131072)
    floor (36617.5)     		tx = 36617
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.220623016357422 × 217)
    floor (0.220623016357422 × 131072)
    floor (28917.5)     		ty = 28917
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36617 / 28917 ti = "17/36617/28917"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36617/28917.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36617 ÷ 217
    36617 ÷ 131072     		x = 0.279365539550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28917 ÷ 217
    28917 ÷ 131072     		y = 0.220619201660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279365539550781 × 2 - 1) × π
    -0.441268920898438 × 3.1415926535     		Λ = -1.38628720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.220619201660156 × 2 - 1) × π
    0.558761596679688 × 3.1415926535     		Φ = 1.75540132718684
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38628720} λ = -1.38628720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75540132718684))-π/2
    2×atan(5.78576926258278)-π/2
    2×1.39964931607559-π/2
    2.79929863215119-1.57079632675     		φ = 1.22850231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38628720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.428406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22850231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.387997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36617 KachelY 28917 -1.38628720 1.22850231 -79.428406 70.387997
    Oben rechts KachelX + 1 36618 KachelY 28917 -1.38623926 1.22850231 -79.425659 70.387997
    Unten links KachelX 36617 KachelY + 1 28918 -1.38628720 1.22848622 -79.428406 70.387076
    Unten rechts KachelX + 1 36618 KachelY + 1 28918 -1.38623926 1.22848622 -79.425659 70.387076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22850231-1.22848622) × R
    1.60900000001352e-05 × 6371000     		dl = 102.509390000861m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22850231-1.22848622) × R
    1.60900000001352e-05 × 6371000     		dr = 102.509390000861m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38628720--1.38623926) × cos(1.22850231) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.335648907790432 × 6371000     		do = 102.515816042017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38628720--1.38623926) × cos(1.22848622) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.335664064320398 × 6371000     		du = 102.520445236398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22850231)-sin(1.22848622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335648907790432-0.335664064320398)×R²
    abs(-1.38623926--1.38628720)×1.51565299654766e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51565299654766e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51565299654766e-05×40589641000000     		ar = 10509.0710359056m²