Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36616 / 38152
↖ ↑ ↗
← S 28.343065°
E 21.137695°		 ← 537.57 m → S 28.343065°
E 21.143188°		 →
↑
537.58 m
↓
↑
537.58 m
↓
S 28.347899°
E 21.137695°		 ← 537.54 m →
288 981 m²		 S 28.347899°
E 21.143188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558723449707031 y=0.582160949707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558723449707031 × 216)
    floor (0.558723449707031 × 65536)
    floor (36616.5)     		tx = 36616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582160949707031 × 216)
    floor (0.582160949707031 × 65536)
    floor (38152.5)     		ty = 38152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36616 / 38152 ti = "16/36616/38152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36616/38152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36616 ÷ 216
    36616 ÷ 65536     		x = 0.5587158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38152 ÷ 216
    38152 ÷ 65536     		y = 0.5821533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5587158203125 × 2 - 1) × π
    0.117431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.36892238
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5821533203125 × 2 - 1) × π
    -0.164306640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.516184535108765
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36892238} λ = 0.36892238}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.516184535108765))-π/2
    2×atan(0.596793253204481)-π/2
    2×0.538058262056112-π/2
    1.07611652411222-1.57079632675     		φ = -0.49467980
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36892238} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.137695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49467980 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.343065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36616 KachelY 38152 0.36892238 -0.49467980 21.137695 -28.343065
    Oben rechts KachelX + 1 36617 KachelY 38152 0.36901825 -0.49467980 21.143188 -28.343065
    Unten links KachelX 36616 KachelY + 1 38153 0.36892238 -0.49476418 21.137695 -28.347899
    Unten rechts KachelX + 1 36617 KachelY + 1 38153 0.36901825 -0.49476418 21.143188 -28.347899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49467980--0.49476418) × R
    8.4379999999995e-05 × 6371000     		dl = 537.584979999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49467980--0.49476418) × R
    8.4379999999995e-05 × 6371000     		dr = 537.584979999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36892238-0.36901825) × cos(-0.49467980) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.880120769857609 × 6371000     		do = 537.567002352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36892238-0.36901825) × cos(-0.49476418) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.880080707331167 × 6371000     		du = 537.542532650814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49467980)-sin(-0.49476418))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880120769857609-0.880080707331167)×R²
    abs(0.36901825-0.36892238)×4.0062526441953e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.0062526441953e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.0062526441953e-05×40589641000000     		ar = 288981.369107629m²