Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36615 / 38158
↖ ↑ ↗
← S 28.372069°
E 21.132202°		 ← 537.42 m → S 28.372069°
E 21.137695°		 →
↑
537.39 m
↓
↑
537.39 m
↓
S 28.376902°
E 21.132202°		 ← 537.40 m →
288 800 m²		 S 28.376902°
E 21.137695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558708190917969 y=0.582252502441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558708190917969 × 216)
    floor (0.558708190917969 × 65536)
    floor (36615.5)     		tx = 36615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582252502441406 × 216)
    floor (0.582252502441406 × 65536)
    floor (38158.5)     		ty = 38158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36615 / 38158 ti = "16/36615/38158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36615/38158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36615 ÷ 216
    36615 ÷ 65536     		x = 0.558700561523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38158 ÷ 216
    38158 ÷ 65536     		y = 0.582244873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558700561523438 × 2 - 1) × π
    0.117401123046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.36882651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582244873046875 × 2 - 1) × π
    -0.16448974609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.516759777904205
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36882651} λ = 0.36882651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.516759777904205))-π/2
    2×atan(0.596450050906996)-π/2
    2×0.537805155064183-π/2
    1.07561031012837-1.57079632675     		φ = -0.49518602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36882651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.132202°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49518602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.372069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36615 KachelY 38158 0.36882651 -0.49518602 21.132202 -28.372069
    Oben rechts KachelX + 1 36616 KachelY 38158 0.36892238 -0.49518602 21.137695 -28.372069
    Unten links KachelX 36615 KachelY + 1 38159 0.36882651 -0.49527037 21.132202 -28.376902
    Unten rechts KachelX + 1 36616 KachelY + 1 38159 0.36892238 -0.49527037 21.137695 -28.376902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49518602--0.49527037) × R
    8.43500000000108e-05 × 6371000     		dl = 537.393850000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49518602--0.49527037) × R
    8.43500000000108e-05 × 6371000     		dr = 537.393850000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36882651-0.36892238) × cos(-0.49518602) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.879880329223972 × 6371000     		do = 537.420144153564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36882651-0.36892238) × cos(-0.49527037) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.879840243367386 × 6371000     		du = 537.395660202611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49518602)-sin(-0.49527037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879880329223972-0.879840243367386)×R²
    abs(0.36892238-0.36882651)×4.00858565856588e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.00858565856588e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.00858565856588e-05×40589641000000     		ar = 288799.701743361m²