Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36614 / 103158
↖ ↑ ↗
← S 71.291986°
W 79.436645°		 ← 97.96 m → S 71.291986°
W 79.433899°		 →
↑
97.92 m
↓
↑
97.92 m
↓
S 71.292866°
W 79.436645°		 ← 97.96 m →
9 593 m²		 S 71.292866°
W 79.433899°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36614 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279346466064453 y=0.787036895751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279346466064453 × 217)
    floor (0.279346466064453 × 131072)
    floor (36614.5)     		tx = 36614
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787036895751953 × 217)
    floor (0.787036895751953 × 131072)
    floor (103158.5)     		ty = 103158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36614 / 103158 ti = "17/36614/103158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36614/103158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36614 ÷ 217
    36614 ÷ 131072     		x = 0.279342651367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103158 ÷ 217
    103158 ÷ 131072     		y = 0.787033081054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279342651367188 × 2 - 1) × π
    -0.441314697265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.38643101
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787033081054688 × 2 - 1) × π
    -0.574066162109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.80348203750575
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38643101} λ = -1.38643101}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80348203750575))-π/2
    2×atan(0.164724312221272)-π/2
    2×0.16325822583903-π/2
    0.326516451678059-1.57079632675     		φ = -1.24427988
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38643101} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.436645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24427988 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.291986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36614 KachelY 103158 -1.38643101 -1.24427988 -79.436645 -71.291986
    Oben rechts KachelX + 1 36615 KachelY 103158 -1.38638307 -1.24427988 -79.433899 -71.291986
    Unten links KachelX 36614 KachelY + 1 103159 -1.38643101 -1.24429525 -79.436645 -71.292866
    Unten rechts KachelX + 1 36615 KachelY + 1 103159 -1.38638307 -1.24429525 -79.433899 -71.292866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24427988--1.24429525) × R
    1.537000000007e-05 × 6371000     		dl = 97.9222700004463m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24427988--1.24429525) × R
    1.537000000007e-05 × 6371000     		dr = 97.9222700004463m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38643101--1.38638307) × cos(-1.24427988) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.320745480070065 × 6371000     		do = 97.9639256019906m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38643101--1.38638307) × cos(-1.24429525) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.32073092209964 × 6371000     		du = 97.9594792231007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24427988)-sin(-1.24429525))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320745480070065-0.32073092209964)×R²
    abs(-1.38638307--1.38643101)×1.45579704246557e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.45579704246557e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.45579704246557e-05×40589641000000     		ar = 9592.63227364341m²