Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36610 / 103169
↖ ↑ ↗
← S 71.301673°
W 79.447632°		 ← 97.92 m → S 71.301673°
W 79.444885°		 →
↑
97.92 m
↓
↑
97.92 m
↓
S 71.302554°
W 79.447632°		 ← 97.91 m →
9 588 m²		 S 71.302554°
W 79.444885°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279315948486328 y=0.787120819091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279315948486328 × 217)
    floor (0.279315948486328 × 131072)
    floor (36610.5)     		tx = 36610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787120819091797 × 217)
    floor (0.787120819091797 × 131072)
    floor (103169.5)     		ty = 103169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36610 / 103169 ti = "17/36610/103169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36610/103169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36610 ÷ 217
    36610 ÷ 131072     		x = 0.279312133789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103169 ÷ 217
    103169 ÷ 131072     		y = 0.787117004394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279312133789062 × 2 - 1) × π
    -0.441375732421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.38662276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787117004394531 × 2 - 1) × π
    -0.574234008789062 × 3.1415926535     		Φ = -1.80400934340157
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38662276} λ = -1.38662276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80400934340157))-π/2
    2×atan(0.16463747501715)-π/2
    2×0.163173681461293-π/2
    0.326347362922586-1.57079632675     		φ = -1.24444896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38662276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.447632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24444896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.301673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36610 KachelY 103169 -1.38662276 -1.24444896 -79.447632 -71.301673
    Oben rechts KachelX + 1 36611 KachelY 103169 -1.38657482 -1.24444896 -79.444885 -71.301673
    Unten links KachelX 36610 KachelY + 1 103170 -1.38662276 -1.24446433 -79.447632 -71.302554
    Unten rechts KachelX + 1 36611 KachelY + 1 103170 -1.38657482 -1.24446433 -79.444885 -71.302554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24444896--1.24446433) × R
    1.537000000007e-05 × 6371000     		dl = 97.9222700004463m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24444896--1.24446433) × R
    1.537000000007e-05 × 6371000     		dr = 97.9222700004463m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38662276--1.38657482) × cos(-1.24444896) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.320585328756499 × 6371000     		do = 97.9150112685327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38662276--1.38657482) × cos(-1.24446433) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.320570769952761 × 6371000     		du = 97.9105646351274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24444896)-sin(-1.24446433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320585328756499-0.320570769952761)×R²
    abs(-1.38657482--1.38662276)×1.45588037380739e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.45588037380739e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.45588037380739e-05×40589641000000     		ar = 9587.84245862259m²