Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36604 / 102636
↖ ↑ ↗
← S 70.826640°
W 79.464111°		 ← 100.31 m → S 70.826640°
W 79.461365°		 →
↑
100.28 m
↓
↑
100.28 m
↓
S 70.827541°
W 79.464111°		 ← 100.31 m →
10 059 m²		 S 70.827541°
W 79.461365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102636 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279270172119141 y=0.783054351806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279270172119141 × 217)
    floor (0.279270172119141 × 131072)
    floor (36604.5)     		tx = 36604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783054351806641 × 217)
    floor (0.783054351806641 × 131072)
    floor (102636.5)     		ty = 102636
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36604 / 102636 ti = "17/36604/102636"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36604/102636.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36604 ÷ 217
    36604 ÷ 131072     		x = 0.279266357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102636 ÷ 217
    102636 ÷ 131072     		y = 0.783050537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279266357421875 × 2 - 1) × π
    -0.44146728515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.38691038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783050537109375 × 2 - 1) × π
    -0.56610107421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.77845897590408
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38691038} λ = -1.38691038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77845897590408))-π/2
    2×atan(0.168898223057088)-π/2
    2×0.167319132629353-π/2
    0.334638265258706-1.57079632675     		φ = -1.23615806
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38691038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.464111°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23615806 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.826640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36604 KachelY 102636 -1.38691038 -1.23615806 -79.464111 -70.826640
    Oben rechts KachelX + 1 36605 KachelY 102636 -1.38686244 -1.23615806 -79.461365 -70.826640
    Unten links KachelX 36604 KachelY + 1 102637 -1.38691038 -1.23617380 -79.464111 -70.827541
    Unten rechts KachelX + 1 36605 KachelY + 1 102637 -1.38686244 -1.23617380 -79.461365 -70.827541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23615806--1.23617380) × R
    1.57400000000418e-05 × 6371000     		dl = 100.279540000267m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23615806--1.23617380) × R
    1.57400000000418e-05 × 6371000     		dr = 100.279540000267m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38691038--1.38686244) × cos(-1.23615806) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.328427523803245 × 6371000     		do = 100.310219493908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38691038--1.38686244) × cos(-1.23617380) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.328412656873354 × 6371000     		du = 100.305678750844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23615806)-sin(-1.23617380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328427523803245-0.328412656873354)×R²
    abs(-1.38686244--1.38691038)×1.48669298906667e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48669298906667e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48669298906667e-05×40589641000000     		ar = 10058.8349965881m²