Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36602 / 103018
↖ ↑ ↗
← S 71.168259°
W 79.469604°		 ← 98.57 m → S 71.168259°
W 79.466858°		 →
↑
98.62 m
↓
↑
98.62 m
↓
S 71.169146°
W 79.469604°		 ← 98.56 m →
9 721 m²		 S 71.169146°
W 79.466858°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279254913330078 y=0.785968780517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279254913330078 × 217)
    floor (0.279254913330078 × 131072)
    floor (36602.5)     		tx = 36602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785968780517578 × 217)
    floor (0.785968780517578 × 131072)
    floor (103018.5)     		ty = 103018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36602 / 103018 ti = "17/36602/103018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36602/103018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36602 ÷ 217
    36602 ÷ 131072     		x = 0.279251098632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103018 ÷ 217
    103018 ÷ 131072     		y = 0.785964965820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279251098632812 × 2 - 1) × π
    -0.441497802734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.38700625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785964965820312 × 2 - 1) × π
    -0.571929931640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.79677087155894
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38700625} λ = -1.38700625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79677087155894))-π/2
    2×atan(0.165833522299306)-π/2
    2×0.16433794110609-π/2
    0.32867588221218-1.57079632675     		φ = -1.24212044
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38700625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.469604°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24212044 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.168259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36602 KachelY 103018 -1.38700625 -1.24212044 -79.469604 -71.168259
    Oben rechts KachelX + 1 36603 KachelY 103018 -1.38695832 -1.24212044 -79.466858 -71.168259
    Unten links KachelX 36602 KachelY + 1 103019 -1.38700625 -1.24213592 -79.469604 -71.169146
    Unten rechts KachelX + 1 36603 KachelY + 1 103019 -1.38695832 -1.24213592 -79.466858 -71.169146
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24212044--1.24213592) × R
    1.54799999998456e-05 × 6371000     		dl = 98.6230799990164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24212044--1.24213592) × R
    1.54799999998456e-05 × 6371000     		dr = 98.6230799990164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38700625--1.38695832) × cos(-1.24212044) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.322790077532905 × 6371000     		do = 98.5678333393657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38700625--1.38695832) × cos(-1.24213592) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.322775426129595 × 6371000     		du = 98.5633593571085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24212044)-sin(-1.24213592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322790077532905-0.322775426129595)×R²
    abs(-1.38695832--1.38700625)×1.46514033104173e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.46514033104173e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.46514033104173e-05×40589641000000     		ar = 9720.84269396484m²