Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36600 / 37979
↖ ↑ ↗
← S 27.503399°
E 21.049805°		 ← 541.76 m → S 27.503399°
E 21.055298°		 →
↑
541.79 m
↓
↑
541.79 m
↓
S 27.508272°
E 21.049805°		 ← 541.73 m →
293 513 m²		 S 27.508272°
E 21.055298°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37979 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558479309082031 y=0.579521179199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558479309082031 × 216)
    floor (0.558479309082031 × 65536)
    floor (36600.5)     		tx = 36600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579521179199219 × 216)
    floor (0.579521179199219 × 65536)
    floor (37979.5)     		ty = 37979
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36600 / 37979 ti = "16/36600/37979"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36600/37979.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36600 ÷ 216
    36600 ÷ 65536     		x = 0.5584716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37979 ÷ 216
    37979 ÷ 65536     		y = 0.579513549804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5584716796875 × 2 - 1) × π
    0.116943359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.36738840
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.579513549804688 × 2 - 1) × π
    -0.159027099609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.499598367840225
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36738840} λ = 0.36738840}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.499598367840225))-π/2
    2×atan(0.606774310857256)-π/2
    2×0.545385727846307-π/2
    1.09077145569261-1.57079632675     		φ = -0.48002487
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36738840} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.049805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48002487 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.503399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36600 KachelY 37979 0.36738840 -0.48002487 21.049805 -27.503399
    Oben rechts KachelX + 1 36601 KachelY 37979 0.36748427 -0.48002487 21.055298 -27.503399
    Unten links KachelX 36600 KachelY + 1 37980 0.36738840 -0.48010991 21.049805 -27.508272
    Unten rechts KachelX + 1 36601 KachelY + 1 37980 0.36748427 -0.48010991 21.055298 -27.508272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48002487--0.48010991) × R
    8.50399999999807e-05 × 6371000     		dl = 541.789839999877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48002487--0.48010991) × R
    8.50399999999807e-05 × 6371000     		dr = 541.789839999877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36738840-0.36748427) × cos(-0.48002487) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.886983438056879 × 6371000     		do = 541.758636157682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36738840-0.36748427) × cos(-0.48010991) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.886944163272661 × 6371000     		du = 541.734647599813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48002487)-sin(-0.48010991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886983438056879-0.886944163272661)×R²
    abs(0.36748427-0.36738840)×3.92747842179464e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.92747842179464e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.92747842179464e-05×40589641000000     		ar = 293512.826600973m²