Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36600 / 102647
↖ ↑ ↗
← S 70.836560°
W 79.475098°		 ← 100.26 m → S 70.836560°
W 79.472351°		 →
↑
100.28 m
↓
↑
100.28 m
↓
S 70.837462°
W 79.475098°		 ← 100.26 m →
10 054 m²		 S 70.837462°
W 79.472351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279239654541016 y=0.783138275146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279239654541016 × 217)
    floor (0.279239654541016 × 131072)
    floor (36600.5)     		tx = 36600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783138275146484 × 217)
    floor (0.783138275146484 × 131072)
    floor (102647.5)     		ty = 102647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36600 / 102647 ti = "17/36600/102647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36600/102647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36600 ÷ 217
    36600 ÷ 131072     		x = 0.27923583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102647 ÷ 217
    102647 ÷ 131072     		y = 0.783134460449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27923583984375 × 2 - 1) × π
    -0.4415283203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.38710213
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783134460449219 × 2 - 1) × π
    -0.566268920898438 × 3.1415926535     		Φ = -1.7789862817999
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38710213} λ = -1.38710213}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7789862817999))-π/2
    2×atan(0.168809185505352)-π/2
    2×0.167232563305309-π/2
    0.334465126610618-1.57079632675     		φ = -1.23633120
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38710213} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.475098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23633120 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.836560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36600 KachelY 102647 -1.38710213 -1.23633120 -79.475098 -70.836560
    Oben rechts KachelX + 1 36601 KachelY 102647 -1.38705419 -1.23633120 -79.472351 -70.836560
    Unten links KachelX 36600 KachelY + 1 102648 -1.38710213 -1.23634694 -79.475098 -70.837462
    Unten rechts KachelX + 1 36601 KachelY + 1 102648 -1.38705419 -1.23634694 -79.472351 -70.837462
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23633120--1.23634694) × R
    1.57400000000418e-05 × 6371000     		dl = 100.279540000267m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23633120--1.23634694) × R
    1.57400000000418e-05 × 6371000     		dr = 100.279540000267m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38710213--1.38705419) × cos(-1.23633120) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.328263983100066 × 6371000     		do = 100.260269953619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38710213--1.38705419) × cos(-1.23634694) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.32824911527538 × 6371000     		du = 100.255728937262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23633120)-sin(-1.23634694))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328263983100066-0.32824911527538)×R²
    abs(-1.38705419--1.38710213)×1.48678246860157e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48678246860157e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48678246860157e-05×40589641000000     		ar = 10053.8260660188m²