Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3660 / 4380
↖ ↑ ↗
← N 78.569201°
W139.790039°		 ← 242.10 m → N 78.569201°
W139.779053°		 →
↑
242.16 m
↓
↑
242.16 m
↓
N 78.567023°
W139.790039°		 ← 242.14 m →
58 632 m²		 N 78.567023°
W139.779053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.111709594726562 y=0.133682250976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.111709594726562 × 215)
    floor (0.111709594726562 × 32768)
    floor (3660.5)     		tx = 3660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133682250976562 × 215)
    floor (0.133682250976562 × 32768)
    floor (4380.5)     		ty = 4380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3660 / 4380 ti = "15/3660/4380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3660/4380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3660 ÷ 215
    3660 ÷ 32768     		x = 0.1116943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4380 ÷ 215
    4380 ÷ 32768     		y = 0.1336669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1116943359375 × 2 - 1) × π
    -0.776611328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.43979644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1336669921875 × 2 - 1) × π
    0.732666015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.30173817215662
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.43979644} λ = -2.43979644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30173817215662))-π/2
    2×atan(9.99153437698799)-π/2
    2×1.47104378594072-π/2
    2.94208757188143-1.57079632675     		φ = 1.37129125
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.43979644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -139.790039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37129125 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.569201°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3660 KachelY 4380 -2.43979644 1.37129125 -139.790039 78.569201
    Oben rechts KachelX + 1 3661 KachelY 4380 -2.43960470 1.37129125 -139.779053 78.569201
    Unten links KachelX 3660 KachelY + 1 4381 -2.43979644 1.37125324 -139.790039 78.567023
    Unten rechts KachelX + 1 3661 KachelY + 1 4381 -2.43960470 1.37125324 -139.779053 78.567023
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37129125-1.37125324) × R
    3.80100000001438e-05 × 6371000     		dl = 242.161710000916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37129125-1.37125324) × R
    3.80100000001438e-05 × 6371000     		dr = 242.161710000916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.43979644--2.43960470) × cos(1.37129125) × R
    0.000191739999999996 × 0.198184248791019 × 6371000     		do = 242.097030736378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.43979644--2.43960470) × cos(1.37125324) × R
    0.000191739999999996 × 0.198221504711281 × 6371000     		du = 242.14254165729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37129125)-sin(1.37125324))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198184248791019-0.198221504711281)×R²
    abs(-2.43960470--2.43979644)×3.72559202615752e-05×R²
    0.000191739999999996×3.72559202615752e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.72559202615752e-05×40589641000000     		ar = 58632.1414572276m²