Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 366 / 435
↖ ↑ ↗
← N 26.115986°
W 51.328125°		 ← 35.101 km → N 26.115986°
W 50.976563°		 →
↑
35.148 km
↓
↑
35.148 km
↓
N 25.799891°
W 51.328125°		 ← 35.195 km →
1 235.39 km²		 N 25.799891°
W 50.976563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.35791015625 y=0.42529296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.35791015625 × 210)
    floor (0.35791015625 × 1024)
    floor (366.5)     		tx = 366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42529296875 × 210)
    floor (0.42529296875 × 1024)
    floor (435.5)     		ty = 435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 366 / 435 ti = "10/366/435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/366/435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 366 ÷ 210
    366 ÷ 1024     		x = 0.357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 435 ÷ 210
    435 ÷ 1024     		y = 0.4248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.357421875 × 2 - 1) × π
    -0.28515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.89584478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4248046875 × 2 - 1) × π
    0.150390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.472466082655273
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.89584478} λ = -0.89584478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.472466082655273))-π/2
    2×atan(1.60394478038089)-π/2
    2×1.01330313429217-π/2
    2.02660626858434-1.57079632675     		φ = 0.45580994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.89584478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -51.328125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45580994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.115986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 366 KachelY 435 -0.89584478 0.45580994 -51.328125 26.115986
    Oben rechts KachelX + 1 367 KachelY 435 -0.88970886 0.45580994 -50.976563 26.115986
    Unten links KachelX 366 KachelY + 1 436 -0.89584478 0.45029305 -51.328125 25.799891
    Unten rechts KachelX + 1 367 KachelY + 1 436 -0.88970886 0.45029305 -50.976563 25.799891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45580994-0.45029305) × R
    0.00551689000000005 × 6371000     		dl = 35148.1061900003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45580994-0.45029305) × R
    0.00551689000000005 × 6371000     		dr = 35148.1061900003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.89584478--0.88970886) × cos(0.45580994) × R
    0.00613591999999996 × 0.897904795480173 × 6371000     		do = 35100.8460653813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.89584478--0.88970886) × cos(0.45029305) × R
    0.00613591999999996 × 0.900319597040296 × 6371000     		du = 35195.2453583431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45580994)-sin(0.45029305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897904795480173-0.900319597040296)×R²
    abs(-0.88970886--0.89584478)×0.00241480156012308×R²
    0.00613591999999996×0.00241480156012308×6371000²
    0.00613591999999996×0.00241480156012308×40589641000000     		ar = 1235390376.42264m²