Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 366 / 145
↖ ↑ ↗
← N 82.285331°
W115.664063°		 ← 2 623.85 m → N 82.285331°
W115.488282°		 →
↑
2 627.85 m
↓
↑
2 627.85 m
↓
N 82.261699°
W115.664063°		 ← 2 631.84 m →
6 905 570 m²		 N 82.261699°
W115.488282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.178955078125 y=0.071044921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.178955078125 × 211)
    floor (0.178955078125 × 2048)
    floor (366.5)     		tx = 366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.071044921875 × 211)
    floor (0.071044921875 × 2048)
    floor (145.5)     		ty = 145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 366 / 145 ti = "11/366/145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/366/145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 366 ÷ 211
    366 ÷ 2048     		x = 0.1787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 145 ÷ 211
    145 ÷ 2048     		y = 0.07080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1787109375 × 2 - 1) × π
    -0.642578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.01871872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.07080078125 × 2 - 1) × π
    0.8583984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.69673822502588
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.01871872} λ = -2.01871872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69673822502588))-π/2
    2×atan(14.8312764563624)-π/2
    2×1.5034731437515-π/2
    3.00694628750299-1.57079632675     		φ = 1.43614996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.01871872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.664063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43614996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.285331°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 366 KachelY 145 -2.01871872 1.43614996 -115.664063 82.285331
    Oben rechts KachelX + 1 367 KachelY 145 -2.01565076 1.43614996 -115.488282 82.285331
    Unten links KachelX 366 KachelY + 1 146 -2.01871872 1.43573749 -115.664063 82.261699
    Unten rechts KachelX + 1 367 KachelY + 1 146 -2.01565076 1.43573749 -115.488282 82.261699
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43614996-1.43573749) × R
    0.000412470000000109 × 6371000     		dl = 2627.8463700007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43614996-1.43573749) × R
    0.000412470000000109 × 6371000     		dr = 2627.8463700007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.01871872--2.01565076) × cos(1.43614996) × R
    0.00306795999999965 × 0.134239886985264 × 6371000     		do = 2623.8492280151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.01871872--2.01565076) × cos(1.43573749) × R
    0.00306795999999965 × 0.134648612232741 × 6371000     		du = 2631.83816073211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43614996)-sin(1.43573749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134239886985264-0.134648612232741)×R²
    abs(-2.01565076--2.01871872)×0.000408725247477287×R²
    0.00306795999999965×0.000408725247477287×6371000²
    0.00306795999999965×0.000408725247477287×40589641000000     		ar = 6905569.61108895m²