Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36597 / 39251
↖ ↑ ↗
← S 33.518499°
E 21.033325°		 ← 509.22 m → S 33.518499°
E 21.038818°		 →
↑
509.23 m
↓
↑
509.23 m
↓
S 33.523079°
E 21.033325°		 ← 509.19 m →
259 304 m²		 S 33.523079°
E 21.038818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558433532714844 y=0.598930358886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558433532714844 × 216)
    floor (0.558433532714844 × 65536)
    floor (36597.5)     		tx = 36597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598930358886719 × 216)
    floor (0.598930358886719 × 65536)
    floor (39251.5)     		ty = 39251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36597 / 39251 ti = "16/36597/39251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36597/39251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36597 ÷ 216
    36597 ÷ 65536     		x = 0.558425903320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39251 ÷ 216
    39251 ÷ 65536     		y = 0.598922729492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558425903320312 × 2 - 1) × π
    0.116851806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.36710078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598922729492188 × 2 - 1) × π
    -0.197845458984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.621549840473648
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36710078} λ = 0.36710078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.621549840473648))-π/2
    2×atan(0.537111355271823)-π/2
    2×0.4928940773927-π/2
    0.9857881547854-1.57079632675     		φ = -0.58500817
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36710078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.033325°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58500817 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.518499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36597 KachelY 39251 0.36710078 -0.58500817 21.033325 -33.518499
    Oben rechts KachelX + 1 36598 KachelY 39251 0.36719665 -0.58500817 21.038818 -33.518499
    Unten links KachelX 36597 KachelY + 1 39252 0.36710078 -0.58508810 21.033325 -33.523079
    Unten rechts KachelX + 1 36598 KachelY + 1 39252 0.36719665 -0.58508810 21.038818 -33.523079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58500817--0.58508810) × R
    7.99299999999503e-05 × 6371000     		dl = 509.234029999683m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58500817--0.58508810) × R
    7.99299999999503e-05 × 6371000     		dr = 509.234029999683m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36710078-0.36719665) × cos(-0.58500817) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.833707574390259 × 6371000     		do = 509.218390193924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36710078-0.36719665) × cos(-0.58508810) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.833663433886043 × 6371000     		du = 509.191429713788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58500817)-sin(-0.58508810))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.833707574390259-0.833663433886043)×R²
    abs(0.36719665-0.36710078)×4.41405042160836e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.41405042160836e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.41405042160836e-05×40589641000000     		ar = 259304.46852927m²