Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36597 / 37953
↖ ↑ ↗
← S 27.376645°
E 21.033325°		 ← 542.38 m → S 27.376645°
E 21.038818°		 →
↑
542.36 m
↓
↑
542.36 m
↓
S 27.381523°
E 21.033325°		 ← 542.36 m →
294 161 m²		 S 27.381523°
E 21.038818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37953 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558433532714844 y=0.579124450683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558433532714844 × 216)
    floor (0.558433532714844 × 65536)
    floor (36597.5)     		tx = 36597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579124450683594 × 216)
    floor (0.579124450683594 × 65536)
    floor (37953.5)     		ty = 37953
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36597 / 37953 ti = "16/36597/37953"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36597/37953.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36597 ÷ 216
    36597 ÷ 65536     		x = 0.558425903320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37953 ÷ 216
    37953 ÷ 65536     		y = 0.579116821289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558425903320312 × 2 - 1) × π
    0.116851806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.36710078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.579116821289062 × 2 - 1) × π
    -0.158233642578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.497105649059982
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36710078} λ = 0.36710078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.497105649059982))-π/2
    2×atan(0.608288715285314)-π/2
    2×0.546491863617848-π/2
    1.0929837272357-1.57079632675     		φ = -0.47781260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36710078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.033325°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47781260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.376645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36597 KachelY 37953 0.36710078 -0.47781260 21.033325 -27.376645
    Oben rechts KachelX + 1 36598 KachelY 37953 0.36719665 -0.47781260 21.038818 -27.376645
    Unten links KachelX 36597 KachelY + 1 37954 0.36710078 -0.47789773 21.033325 -27.381523
    Unten rechts KachelX + 1 36598 KachelY + 1 37954 0.36719665 -0.47789773 21.038818 -27.381523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47781260--0.47789773) × R
    8.51300000000443e-05 × 6371000     		dl = 542.363230000282m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47781260--0.47789773) × R
    8.51300000000443e-05 × 6371000     		dr = 542.363230000282m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36710078-0.36719665) × cos(-0.47781260) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.888002895732582 × 6371000     		do = 542.381308438035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36710078-0.36719665) × cos(-0.47789773) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.887963746517907 × 6371000     		du = 542.357396576506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47781260)-sin(-0.47789773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888002895732582-0.887963746517907)×R²
    abs(0.36719665-0.36710078)×3.91492146754047e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.91492146754047e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.91492146754047e-05×40589641000000     		ar = 294161.194056491m²