Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36596 / 38028
↖ ↑ ↗
← S 27.741885°
E 21.027832°		 ← 540.64 m → S 27.741885°
E 21.033325°		 →
↑
540.58 m
↓
↑
540.58 m
↓
S 27.746746°
E 21.027832°		 ← 540.61 m →
292 250 m²		 S 27.746746°
E 21.033325°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558418273925781 y=0.580268859863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558418273925781 × 216)
    floor (0.558418273925781 × 65536)
    floor (36596.5)     		tx = 36596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580268859863281 × 216)
    floor (0.580268859863281 × 65536)
    floor (38028.5)     		ty = 38028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36596 / 38028 ti = "16/36596/38028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36596/38028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36596 ÷ 216
    36596 ÷ 65536     		x = 0.55841064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38028 ÷ 216
    38028 ÷ 65536     		y = 0.58026123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55841064453125 × 2 - 1) × π
    0.1168212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.36700490
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58026123046875 × 2 - 1) × π
    -0.1605224609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.504296184002991
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36700490} λ = 0.36700490}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.504296184002991))-π/2
    2×atan(0.603930481815727)-π/2
    2×0.543304549630994-π/2
    1.08660909926199-1.57079632675     		φ = -0.48418723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36700490} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.027832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48418723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.741885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36596 KachelY 38028 0.36700490 -0.48418723 21.027832 -27.741885
    Oben rechts KachelX + 1 36597 KachelY 38028 0.36710078 -0.48418723 21.033325 -27.741885
    Unten links KachelX 36596 KachelY + 1 38029 0.36700490 -0.48427208 21.027832 -27.746746
    Unten rechts KachelX + 1 36597 KachelY + 1 38029 0.36710078 -0.48427208 21.033325 -27.746746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48418723--0.48427208) × R
    8.48499999999697e-05 × 6371000     		dl = 540.579349999807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48418723--0.48427208) × R
    8.48499999999697e-05 × 6371000     		dr = 540.579349999807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36700490-0.36710078) × cos(-0.48418723) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.885053577029178 × 6371000     		do = 540.636287407526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36700490-0.36710078) × cos(-0.48427208) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.885014077087315 × 6371000     		du = 540.612158809579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48418723)-sin(-0.48427208))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885053577029178-0.885014077087315)×R²
    abs(0.36710078-0.36700490)×3.94999418629194e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.94999418629194e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.94999418629194e-05×40589641000000     		ar = 292250.291297549m²