Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36595 / 39258
↖ ↑ ↗
← S 33.550551°
E 21.022339°		 ← 509.03 m → S 33.550551°
E 21.027832°		 →
↑
509.04 m
↓
↑
509.04 m
↓
S 33.555129°
E 21.022339°		 ← 509 m →
259 111 m²		 S 33.555129°
E 21.027832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558403015136719 y=0.599037170410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558403015136719 × 216)
    floor (0.558403015136719 × 65536)
    floor (36595.5)     		tx = 36595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599037170410156 × 216)
    floor (0.599037170410156 × 65536)
    floor (39258.5)     		ty = 39258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36595 / 39258 ti = "16/36595/39258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36595/39258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36595 ÷ 216
    36595 ÷ 65536     		x = 0.558395385742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39258 ÷ 216
    39258 ÷ 65536     		y = 0.599029541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558395385742188 × 2 - 1) × π
    0.116790771484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.36690903
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599029541015625 × 2 - 1) × π
    -0.19805908203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.622220957068329
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36690903} λ = 0.36690903}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.622220957068329))-π/2
    2×atan(0.536751011857856)-π/2
    2×0.492614371745445-π/2
    0.98522874349089-1.57079632675     		φ = -0.58556758
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36690903} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.022339°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58556758 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.550551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36595 KachelY 39258 0.36690903 -0.58556758 21.022339 -33.550551
    Oben rechts KachelX + 1 36596 KachelY 39258 0.36700490 -0.58556758 21.027832 -33.550551
    Unten links KachelX 36595 KachelY + 1 39259 0.36690903 -0.58564748 21.022339 -33.555129
    Unten rechts KachelX + 1 36596 KachelY + 1 39259 0.36700490 -0.58564748 21.027832 -33.555129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58556758--0.58564748) × R
    7.99000000000216e-05 × 6371000     		dl = 509.042900000138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58556758--0.58564748) × R
    7.99000000000216e-05 × 6371000     		dr = 509.042900000138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36690903-0.36700490) × cos(-0.58556758) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.833398534289499 × 6371000     		do = 509.02963227994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36690903-0.36700490) × cos(-0.58564748) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.833354373097249 × 6371000     		du = 509.002659163806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58556758)-sin(-0.58564748))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.833398534289499-0.833354373097249)×R²
    abs(0.36700490-0.36690903)×4.41611922493701e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.41611922493701e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.41611922493701e-05×40589641000000     		ar = 259111.055102992m²