Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36594 / 38006
↖ ↑ ↗
← S 27.634874°
E 21.016846°		 ← 541.11 m → S 27.634874°
E 21.022339°		 →
↑
541.09 m
↓
↑
541.09 m
↓
S 27.639740°
E 21.016846°		 ← 541.09 m →
292 782 m²		 S 27.639740°
E 21.022339°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558387756347656 y=0.579933166503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558387756347656 × 216)
    floor (0.558387756347656 × 65536)
    floor (36594.5)     		tx = 36594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579933166503906 × 216)
    floor (0.579933166503906 × 65536)
    floor (38006.5)     		ty = 38006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36594 / 38006 ti = "16/36594/38006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36594/38006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36594 ÷ 216
    36594 ÷ 65536     		x = 0.558380126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38006 ÷ 216
    38006 ÷ 65536     		y = 0.579925537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558380126953125 × 2 - 1) × π
    0.11676025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.36681316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.579925537109375 × 2 - 1) × π
    -0.15985107421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.502186960419708
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36681316} λ = 0.36681316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.502186960419708))-π/2
    2×atan(0.605205650565886)-π/2
    2×0.544238395387799-π/2
    1.0884767907756-1.57079632675     		φ = -0.48231954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36681316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.016846°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48231954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.634874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36594 KachelY 38006 0.36681316 -0.48231954 21.016846 -27.634874
    Oben rechts KachelX + 1 36595 KachelY 38006 0.36690903 -0.48231954 21.022339 -27.634874
    Unten links KachelX 36594 KachelY + 1 38007 0.36681316 -0.48240447 21.016846 -27.639740
    Unten rechts KachelX + 1 36595 KachelY + 1 38007 0.36690903 -0.48240447 21.022339 -27.639740
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48231954--0.48240447) × R
    8.49299999999831e-05 × 6371000     		dl = 541.089029999892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48231954--0.48240447) × R
    8.49299999999831e-05 × 6371000     		dr = 541.089029999892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36681316-0.36690903) × cos(-0.48231954) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.88592142233777 × 6371000     		do = 541.109969944903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36681316-0.36690903) × cos(-0.48240447) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.885882025606279 × 6371000     		du = 541.085906903131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48231954)-sin(-0.48240447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88592142233777-0.885882025606279)×R²
    abs(0.36690903-0.36681316)×3.93967314905597e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.93967314905597e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.93967314905597e-05×40589641000000     		ar = 292782.158812865m²