Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36593 / 37965
↖ ↑ ↗
← S 27.435165°
E 21.011352°		 ← 542.15 m → S 27.435165°
E 21.016846°		 →
↑
542.11 m
↓
↑
542.11 m
↓
S 27.440040°
E 21.011352°		 ← 542.13 m →
293 898 m²		 S 27.440040°
E 21.016846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37965 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558372497558594 y=0.579307556152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558372497558594 × 216)
    floor (0.558372497558594 × 65536)
    floor (36593.5)     		tx = 36593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579307556152344 × 216)
    floor (0.579307556152344 × 65536)
    floor (37965.5)     		ty = 37965
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36593 / 37965 ti = "16/36593/37965"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36593/37965.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36593 ÷ 216
    36593 ÷ 65536     		x = 0.558364868164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37965 ÷ 216
    37965 ÷ 65536     		y = 0.579299926757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558364868164062 × 2 - 1) × π
    0.116729736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.36671728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.579299926757812 × 2 - 1) × π
    -0.158599853515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.498256134650864
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36671728} λ = 0.36671728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.498256134650864))-π/2
    2×atan(0.607589290299614)-π/2
    2×0.545981181535181-π/2
    1.09196236307036-1.57079632675     		φ = -0.47883396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36671728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.011352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47883396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.435165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36593 KachelY 37965 0.36671728 -0.47883396 21.011352 -27.435165
    Oben rechts KachelX + 1 36594 KachelY 37965 0.36681316 -0.47883396 21.016846 -27.435165
    Unten links KachelX 36593 KachelY + 1 37966 0.36671728 -0.47891905 21.011352 -27.440040
    Unten rechts KachelX + 1 36594 KachelY + 1 37966 0.36681316 -0.47891905 21.016846 -27.440040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47883396--0.47891905) × R
    8.50900000000099e-05 × 6371000     		dl = 542.108390000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47883396--0.47891905) × R
    8.50900000000099e-05 × 6371000     		dr = 542.108390000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36671728-0.36681316) × cos(-0.47883396) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.887532772646178 × 6371000     		do = 542.150707719694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36671728-0.36681316) × cos(-0.47891905) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.887493564676033 × 6371000     		du = 542.126757473103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47883396)-sin(-0.47891905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887532772646178-0.887493564676033)×R²
    abs(0.36681316-0.36671728)×3.92079701455605e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.92079701455605e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.92079701455605e-05×40589641000000     		ar = 293897.955661935m²