Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36592 / 38192
↖ ↑ ↗
← S 28.536275°
E 21.005859°		 ← 536.59 m → S 28.536275°
E 21.011352°		 →
↑
536.57 m
↓
↑
536.57 m
↓
S 28.541100°
E 21.005859°		 ← 536.56 m →
287 907 m²		 S 28.541100°
E 21.011352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38192 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558357238769531 y=0.582771301269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558357238769531 × 216)
    floor (0.558357238769531 × 65536)
    floor (36592.5)     		tx = 36592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582771301269531 × 216)
    floor (0.582771301269531 × 65536)
    floor (38192.5)     		ty = 38192
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36592 / 38192 ti = "16/36592/38192"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36592/38192.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36592 ÷ 216
    36592 ÷ 65536     		x = 0.558349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38192 ÷ 216
    38192 ÷ 65536     		y = 0.582763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558349609375 × 2 - 1) × π
    0.11669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.36662141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582763671875 × 2 - 1) × π
    -0.16552734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.520019487078369
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36662141} λ = 0.36662141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.520019487078369))-π/2
    2×atan(0.594508962614567)-π/2
    2×0.536372190151669-π/2
    1.07274438030334-1.57079632675     		φ = -0.49805195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36662141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.005859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49805195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.536275°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36592 KachelY 38192 0.36662141 -0.49805195 21.005859 -28.536275
    Oben rechts KachelX + 1 36593 KachelY 38192 0.36671728 -0.49805195 21.011352 -28.536275
    Unten links KachelX 36592 KachelY + 1 38193 0.36662141 -0.49813617 21.005859 -28.541100
    Unten rechts KachelX + 1 36593 KachelY + 1 38193 0.36671728 -0.49813617 21.011352 -28.541100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49805195--0.49813617) × R
    8.42199999999682e-05 × 6371000     		dl = 536.565619999797m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49805195--0.49813617) × R
    8.42199999999682e-05 × 6371000     		dr = 536.565619999797m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36662141-0.36671728) × cos(-0.49805195) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.878514841052166 × 6371000     		do = 536.586120678145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36662141-0.36671728) × cos(-0.49813617) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.878474604774601 × 6371000     		du = 536.561544851898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49805195)-sin(-0.49813617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878514841052166-0.878474604774601)×R²
    abs(0.36671728-0.36662141)×4.02362775654419e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.02362775654419e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.02362775654419e-05×40589641000000     		ar = 287907.071423516m²